siddy98 ha scritto:mathbells ha scritto:Capisco cosa intendi, ma comunque non vedo ambiguità: nel primo e nel secondo passaggio la forza di attrito è ben definita.
Sicuramente è ben definita, ma non può essere scritta come funzione dello spazio! E quindi che integrale di linea calcoli?
per calcolare il lavoro basta moltiplicare il modulo dell'attrito per la lunghezza della curva (e mettere un segno meno).
E come giustifichi questo risultato in maniera matematicamente rigorosa senza scrivere la forza in funzione del tempo?
Provo a rispondere, riprendendo i calcoli fatti da te più sopra (cambio un po' la notazione). Sia $\gamma$ la traiettoria del punto e $\vec A=mg\mu_D\hat a$ la forza di attrito, dove $\hat a$ è il versore tangente alla traiettoria, orientato nel verso del moto. Allora il lavoro $L$ si scrive
\(\displaystyle L=\int_{\gamma}\vec A\cdot d\vec r=-mg\mu_D\int_\gamma\hat a\cdot d\vec r \)
Ora, il versore \(\displaystyle \hat a \) è in realtà una funzione del punto $\vec r$ dello spazio, quindi è \(\displaystyle \hat a (\vec r) \) e tu, giustamente, osservi che \(\displaystyle \hat a (\vec r) \) non è una funzione ben definita nel caso di traiettoria intrecciata, poiché nel punto di "intreccio" tale funzione è palindroma (ha due valori diversi) e quindi di fatto non è una funzione. Per risolvere il problema, proponi di parametrizzare con il tempo in modo che la funzione \(\displaystyle \hat a (t) \) è ora ben definita. Su questo sono d'accordo con te. Anzi, dirò di più e cioè che anche \(\displaystyle d\vec r \) non è ben definito nel punto di intreccio. Io, però, mi chiedo due cose:
1) è davvero necessario parametrizzare?
Osservo che il prodotto scalare \(\displaystyle \hat a\cdot d\vec r \) è in ogni punto pari a $dr$ poiché il versore e l'elemento infinitesimo di traiettoria sono sempre paralleli (anche nel punto di intreccio) e quindi, sappiamo già a priori che, qualunque sia la parametrizzazione, si avrà
\(\displaystyle \int_\gamma\hat a\cdot d\vec r=\int_\gamma dr \)
e l'ultimo integrale è per definizione la lunghezza di $\gamma$. Dunque: a che serve parametrizzare? Per rigore matematico? Credo che sia inutile poiché il risultato del calcolo non dipende dalla parametrizzazione, tanto più che che sappiamo già quale sarà il risultato
2) ammesso che sia necessario parametrizzare, mi lascia perplesso la scelta di parametrizzare con il tempo, poiché in tal caso sarebbe necessario conoscere la legge oraria del moto, cosa che invece è inutile poiché il lavoro fatto dall'attrito non dipende certo dalla legge oraria con cui la traiettoria viene percorsa. Parametrizzare con il tempo quindi è una richiesta pesante ma anche del tutto non necessaria. Proprio perché il risultato non dipende dalla parametrizzazione di $\gamma$, è allora preferibile scegliere un qualsiasi altro parametro che renda matematicamente più semplice la parametrizzazione stessa (ad esempio, nel caso di una traiettoria circolare percorsa con una legge oraria complicata, si potrebbe sempre scegliere la parametrizzazione temporale che si avrebbe nel caso del moto circolare uniforme, che è molto semplice).
In conclusione, sono d'accordo con te che
se vuoi a tutti i costi esplicitare il versore tangente alla traiettoria
come funzione, allora non si può scegliere come variabile indipendente il punto dello spazio, ma è necessario un parametro. Non sono d'accordo, però, nello scegliere il tempo come parametro (nel senso di usare la reale legge oraria) poiché ciò sarebbe, in generale, inutilmente complicato e quindi è meglio prendere un qualsiasi altro parametro. Rimango comunque dell'idea che non sia necessario parametrizzare, ma magari mi sbaglio...