Esercizio

[Pitot123]

'acqua raggiunga lo

[Shackle]

Io direi che hai fatto proprio la scelta giusta . Analizziamo infatti che cosa vuol dire che, con la prima velocità angolare , l'acqua nel bidone "diventa come un corpo rigido" dopo 30 s .
Non è detto se l'asse del bidone coincide con l'asse di rotazione della piattaforma , oppure no , ma questo non importa . Anche se il bidone è piazzato eccentricamente rispetto all'asse di rotazione, la frase significa che dopo 30s la superficie libera dell'acqua assume la forma di una porzione di paraboloide di rotazione rispetto all'asse : il perché è dimostrabile considerando la forza apparente centrifuga che agisce sulle particelle di liquido che si somma vettorialmente alla forza peso, come ben sai , per cui la superficie diventa quella di un paraboloide. L'acqua "sale" nelle zone di superficie più lontane dall'asse , e "scende" in quelle più vicine all'asse, rimanendo alla fine in "quiete relativa" rispetto al riferimento rotante. Questi movimenti dell'acqua , che fanno assumere la forma detta alla superficie, dipendono essenzialmente dalla velocità angolare, dalla distanza della particella dall'asse, dalla densità del fluido. Infatti per una massa $m$ a distanza $r$ dall'asse di rotazione la forza apparente centrifuga vale : $mr\omega^2$ .
SE ora cambia la velocità angolare della piattaforma, distanza e densità non cambiano,cioè non cambiano $r$ ed $m$ . Per cui , in definitiva , il tempo necessario per arrivare alla condizione di quiete relativa anzidetta dipende solo dalla velocità angolare .
Però la dipendenza è quadratica , visto che la forza centrifuga dipende dal quadrato di $\omega$ . Per cui abbiamo :

$\omega_2 = 1.5 \omega_1$ ( questo è il dato del problema)

e quindi deve essere : $t_2 = (1/(1.5))^2 t_1 $

Almeno. penso che sia cosií.

[mgrau]

SE ora cambia la velocità angolare della piattaforma, distanza e densità non cambiano,cioè non cambiano $r$ ed $m$ . Per cui , in definitiva , il tempo necessario per arrivare alla condizione di quiete relativa anzidetta dipende solo dalla velocità angolare .
Però la dipendenza è quadratica , visto che la forza centrifuga dipende dal quadrato di $\omega$ . Per cui abbiamo :

$\omega_2 = 1.5 \omega_1$ ( questo è il dato del problema)

e quindi deve essere : $t_2 = (1/(1.5))^2 t_1 $

@Shackle, salvo il dato di fatto che ne sai molto più di me, però... tu hai dimostrato che le forze dipendono quadraticamente da $omega$, ma il tempo, che è poi la durata del transitorio, e oltre tutto mi sembra molto poco definito, che cosa c'entra? Come si ricava che se la forza aumenta di un tot, il tempo diminuisce nella stessa misura?

[Pitot123]

Allora

[Shackle]

In fluidodinamica, si ricorre spesso alla "similitudine" per determinare come una grandezza dipenda da altre, specie se questa dipendenza non è facilmente ricavabile mediante leggi suscettibili di rappresentazione matematica.
Nel caso in esame, dobbiamo stabilire la dipendenza del tempo di formazione del paraboloide finale dalla velocità angolare della piattaforma. Non è ben definita fisicamente, questa legge, certo; ed allora si ricorre agli esperimenti pratici, come si fa quando si prova un nuovo profilo alare in una galleria del vento , o si vuol determinare la resistenza al moto di un nuovo modello di aereo o di una nave : si fanno prove su modelli, nella galleria del vento o in una vasca navale, certamente non si costruisce prima l'aereo o la nave e si fanno prove sul prototipo !

Allora, immaginiamo di condurre una serie di esperimenti sul bidone, posto su piattaforma rotante. Qui non è necessario costruire dei modelli in scala ridotta, il bidone è sia il "prototipo" che il "modello" di sè stesso. Possiamo fare gli esperimenti , variando la posizione del bidone sulla piattaforma , variando il liquido, variando la velocità angolare ....( si potrebbe variare anche la temperatura per vedere che influenza ha sul fenomeno, ma non è il caso di insistere) .
In ogni caso, la similitudine fisica è basata su tre condizioni imprescindibili :
1) la similitudine geometrica : il modello deve essere in scala. Sembra ovvio , ma non lo è. I rapporti tra lunghezze, larghezze, altezze di prototipo e modello devono essere uguali.Nel nostro caso , questa similitudine è assicurata dal fatto che bidone e modello sono gli stessi , la scala è $1:1$ .
2) la similitudine cinematica : le grandezze cinematiche devono essere " in scala" anche loro , cioè non si può imporre, ad esempio, una velocità che non rispetti l'uguaglianza del numero di Reynolds ( il quale è importante per fenomeni dove compare la viscosità del fluido , e non è il nostro caso) , come ha giustamente detto Pitot , o del numero di Froude per fenomeni che coinvolgono forze gravitazionali , come la formazione di onde da parte di un modello in scala di nave in vasca. Nel nostro caso, anche la similitudine cinematica è automaticamente soddisfatta, visto che prototipo e modelli sono gli stessi. Inoltre, non è richiesta la dipendenza del fenomeno dalla densità del fluido, ma solo dalla velocità angolare. L'idea di Pitot rispecchia proprio la condizione di similitudine cinematica.
3) ma non basta , deve essere soddisfatta anche la similitudine dinamica , quindi anche le forze agenti nel modello e nel prototipo devono rispettare determinati rapporti . In queste poche note ( ma l'argomento è vastissimo , come si può immaginare!) sono riportate le considerazioni fin qui svolte, in maniera più dettagliata :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

quindi, per rispettare la similitudine dinamica nel nostro caso, ritengo si debbano confrontare le forze agenti, che oltre alla gravità sono quelle di inerzia , in altre parole le forze centrifughe . Queste dipendono dal quadrato di $\omega$. Quindi i tempi richiesti dal problema , secondo me, stanno in rapporto uguale al quadrato del rapporto inverso delle velocità angolari. Cioe la formuletta che ho gia scritto , insomma.

Se non siete d'accordo , fatemelo sapere , e ditemi come fareste voi. Posso sempre sbagliarmi!

[gio73]

Ciao ragazzi
non ho capito cosa è successo,
perchè pitot123 hai cancellato i tuoi interventi?

[Palliit]

Moderatore: Palliit

@Pitot123: non mi è chiaro perchè tu abbia cancellato il contenuto dei tuoi messaggi nè il motivo della tua segnalazione. In ogni caso a causa di questo incomprensibile comportamento la discussione è diventata priva di significato e mi scuso a nome del forum con gli utenti che sono intervenuti. Per ora chiudo.