Campo elettrico in un dielettrico

[Giacomo14]

Salve ragazzi, vi scrivo per risolvere alcuni miei dubbi. Devo risolvere il seguente problema:
Su una sfera conduttrice S1, di raggio R1=5 cm, è posta una carica Q = 10-9C.
Determinare:
l’espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio ( 0 < r < ∞ );il potenziale sulla sfera conduttrice.
La sfera viene quindi circondata da un guscio sferico dielettrico di costante elettrica εr=4, concentrico con S1, di raggi R1 ed R2=15 cm.Calcolare l’espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio ( 0 < r < ∞ ),le densità di carica di polarizzazione sulle superfici di raggio R1 ed R2 ,il potenziale sulla sfera conduttrice, il potenziale nel punto A distante RA=30 cm dal centro del sistema.L’espressione dell’intensità del vettore spostamento in tutti i punti dello spazio


Per la prima parte del problema non ho avuto grosse difficoltà, sapendo che il campo all'interno di un conduttore è nullo e sulla sua superficie è:
E=Q/4 πe0R^2
Mentre il potenziale sarà:
P=Q/4 πe0R
Sto avendo problemi con la seconda parte. Il campo nel conduttore rimane lo stesso? E tra il conduttore e il dielettrico?
Nel dielettrico avevo pensato di usare questa formula:
E= σ/ke0
Ma non so se sia corretto. Ho bisogno di chiamire al meglio questo argomento, grazie a chi mi aiuterà :)

[mgrau]

Benvenuto nel forum.

Ti sono rimasti nella penna un po' di dati

l’espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio ( 0 < r < ∞ .....)

... di raggi R1 ...... ed R2=15 cm.

Calcolare l’espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio ( 0 < r < ∞ .... )

P.S. Prova a d usare l'editor per le formule per favore

[Giacomo14]

In che senso?

[mgrau]

Nel senso che, quando uno scrive 0 < r <=, e si ferma lì, evidentemente manca qualcosa.
Vuoi dire " in tutti i punti della spazio, escluso il centro"?

Sul punto R1 e R2, ok , avevo letto male.
Quanto al merito del problema, prova a usare il teorema di Gauss, e vedi cosa ricavi...

[Giacomo14]

Volevo dire r compreso tra zero e infinito, quindi praticamente tutti i punti dello spazio

[mgrau]

Allora,intanto, fuori dalla sfera dielettrica, il campo (Gauss) è quello dovuto alla carica originale sulla sfera conduttrice, e il potenziale anche.
Nel dielettrico, il campo E è ridotto di un fattore $epsilon_r$. Allora, per trovare la differenza di potenziale fra $R_1$ e $R_2$ si tratta di integrare fra questi due raggi il campo $E/epsi_r$, ovvero si può immaginare che la carica che produce il campo sia $Q/epsi_r$ nel vuoto.

[Giacomo14]

Fin qui ci sono, ma poi come trovo la densità di carica di polarizzazione sulle superfici?
Avevo pensato di trovare il vettore polarizzazione:
P=e0(er-1)E
e in seguito:
d=P•n
dove n è il versore della normale al dielettrico. Il problema è che non riesco ad eseguire il calcolo. Non capisco come fare il prodotto tra versore e P

[mgrau]

Io la vedrei così (ma, onestamente, non mi sento ferratissimo):
Sulla sfera interna c'è una carica $+Q$ e, in assenza di dielettrico, produrrebbe in superficie un campo $vec E$.
La presenza del dielettrico riduce questo campo a $vec E/epsi_r$ cosa che viene interpretata con la formazione di due strati di carica indotta sulle due facce del dielettrico, $-Q'$ sulla faccia interna e $+Q'$ su quella esterna.
Se l'effetto su $vec E$ deve essere quello detto, occorre che $(Q - Q')/Q = 1/epsi_r => Q' = (epsi_r - 1)/epsi_r$
Se ho capito bene, il vettore polarizzazione è il campo elettrico dovuto alle cariche indotte, qui $Q'$, per cui dovrebbe essere $vec P = (epsi_r - 1)/epsi_r vec E$, col verso opposto rispetto a $vec E$