Notazione di Dirac

[Nattramn16]

Ciao a tutti, avrei un dubbio su come calcolare questa cosa:

$ <\sigma_{x}>(t)=<\psi(t)|\sigma_{x}|\psi(t)> $
$ <\sigma_{x}>(t)=<\psi(0)|U^(daga)\sigma_{x}U|\psi(0)> $

Perdonate l'aver scritto ''daga'' sopra all'operatore posizione, ma non sapevo come scriverlo altrimenti dato che il codice ASCIIMathML per il simbolo non era presente.

Comunque, considero che
$ U=cos(\alpha)I+isin(\alpha)\sigma_{x} $ e che $ \sigma_{x}=( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $ la matrice di Pauli e che
$ \psi(0)=\frac{1}{\sqrt(2)}|0>+\frac{i}{\sqrt(2)}|1>+ $

Dovrebbe venirmi
$ -sin^2(2\alpha)=-sin(\frac{2\muBt}{h}) $ (con $ h $ la costante di Plank ridotta (che ha un tagliato che non riesco ahimè a mettere )

Mi potreste dare un aiuto su come si calcola?
Grazie

[v3ct0r]

Ma quale devi calcolare tra le due che hai scritto all'inizio?

Inoltre, non ho capito cosa sono $|0>$ e $|1>$ e hai lasciato un segno $+$ in sospeso

[veciorik]

... scritto ''daga'' ... non sapevo come scriverlo ...

\dagger con parentesi slashate al posto dei dollari per ottenere \( A^\dagger \)

Codice:

\( A^\dagger \)

[Nattramn16]

Grazie mille, ora posso scrivere bene la daga
Allora...dei due devo calcolare il secondo (la prima espressione e la seconda sono un'uguaglianza).
Per essere più precisi, riporto il testo:

Si consideri un sistema quantistico a due livelli soggetto ad un campo magnetico statico uniforme diretto lungo l’asse $ x $ . L’evoluzione dinamica del sistema è governata dall’hamiltoniana $ H=-\muB\sigma_x $
Determinare come varia nel tempo il valore di aspettazione di $ \sigma_z $ nei due casi seguenti:
a) stato iniziale puro:
$ |\psi(0)> =\frac{1}{\sqrt(2)}|0>+\frac{i}{\sqrt(2)}|1> $
con
$ |0>,|1> $ autostati di $ \sigma_z $, $ \sigma_z|0> =|0> $ $ \sigma_z|1> =-|1> $

allora ho considerato
$ |\psi(t)> = U(t)|\psi(0)> $ con $ U(t)=e^(-i/h Ht)=e^(i\alpha\sigma_x $ . Ho poi sviluppato $ U(t) $ in serie e ottenuto
$ U(t)=cos(\alpha)I+isin(\alpha)\sigma_x $ . Se ora voglio ottenere il valore medio evolvente nel tempo ho
$ <\sigma_z>(t)=<\psi(t)|sigma_z|\psi(t)> = <\psi(0)|U^(\dagger)sigma_z U|\psi(0)> $
(ps, ho provato a scrivere il dagato col codice che mi hai detto ma mi è uscita quella roba li...)
Ho problema a calcolare quest'ultima cosa...

[v3ct0r]

Ah ok, quindi in pratica vuoi mostrare che il valore medio di $sigma_z$ calcolato nel formalismo di Schrödinger è uguale a quello calcolato nel formalismo di Heisenberg, e hai posto $alpha = mu B/h t$. Ma allora dovrebbe risultare $-sin(2alpha)$, non $-sin^2(2alpha)$, o sbaglio?

[Nattramn16]

Così era scritto nella soluzione :/ (potrebbe essere un errore di scrittura nel testo delle soluzioni).
Solo che io non capisco bene come fare il conto

[v3ct0r]

Allora sarà sicuramente un errore del testo, perchè altrimenti non ha senso. Comunque, per il conto devi essenzialmente fare il prodotto di tre matrici, chiamiamolo

\( O= U^\dagger \sigma_z U\)

cioè

$O=|(cos(alpha),-isin(alpha)),(-isin(alpha),cos(alpha))||(1,0),(0,-1)||(cos(alpha),isin(alpha)),(isin(alpha),cos(alpha))|$

Questo operatore $O$ lo fai agire sul ket di stato iniziale $|psi(0)> =$$1/sqrt(2)|(1),(0)| +i/sqrt(2)|(0),(1)|$, e il ket risultante lo usi per fare il prodotto interno bra-ket con $<psi(0)|$.

E dovrebbe venire $-sin(2alpha)$

[Nattramn16]

okay....credo di aver capito:) sono agli inizi con la quantistica e ho un sacco di dubbi, v3ct0r sei stato molto gentile
Si sicuramente c'era un errore di battitura

solo un'ultima cosa, il ket è giusto

$ <\psi(0)| =\frac{<0|}{\sqrt{2}}-\frac{i<1|}{\sqrt{2}} $

con $ <0| $ e $ <1| $ i vettori (riga e non più colonna) della base canonica

[v3ct0r]

yes, peró quello si chiama "bra" non "ket"

[Nattramn16]

Pardon, giusto, ho sbagliato a scrivere