Coseno, seno e funzioni inverse, dubbio su estremi e posizioni di equilibrio

[Lorenz8]

Ciao a tutti, sto svolgendo alcuni temi d'esame di meccanica razionale, non sono sicuro di alcune soluzioni ottenute per le posizioni di equilibro o meglio, non sono sicuro che il ragionamento adottato sia corretto o meno. In entrambi i casi $\theta \in [0;2\pi]$ cioè l'oggetto può ruotare completamente intorno al punto di applicazione.

In questo primo esempio, dopo aver svolto i conti sul potenziale e le sue derivate rispetto alle coordinate lagrangiane $ q=(x, \theta) $, ottengo questo
$ sin(2\theta)=-\lambda $.
$\lambda$ risulta composto da termini $ >0 $ quindi il suo dominio è $ (0;1] $.
Inverto la funzione per esplicitare $ \theta $, il suo dominio è $ [-pi/2;pi/2] $ quindi le posizioni di equilibrio per $\theta$ risultano essere
$ \theta1=pi/2 - arcsin(-\lambda)/2 $
$ \theta2= pi/2 + arcsin(-\lambda)/2 $

In un secondo tema di esame, con coordinata lagrangiana $q=(\theta)$ ottengo
$cos(\theta)=-\lambda$
anche qui $\lambda$ risulta essere $>0$ quindi ha dominio pari a $(0;1]$, esplicitando $\theta$ e sapendo che il dominio dell'arcocoseno è $[0;\pi]$ ottengo le due posizioni di equilibrio
$\theta1=arccos(-\lambda)$
$\theta2=2\pi - arccos(-\lambda)$

Le domanda che mi ero posto nel primo esempio è perché avesse tolto o aggiunto $arcsin(-\lambda)$ anziché togliere o aggiungere $pi/2$ cosa che avrei fatto io.
Nel secondo esempio va aggiungere l'arcocoseno a $0$ e per l'altra posizione d'equilibrio, lo va a togliere a $2pi$ mentre io avrei semplicemente sommato $pi$ alla seconda posizione d'equilibrio.
La risposta che ho provato a darmi nel primo esempio è: dato che la funzione arcoseno è pari, per semplicità di notazione, l'ha inserita in quel modo, ma non sono convinto di questa risposta.
Per il secondo esempio, invece, non sono riuscito a darmi una risposta. Qui non mi sembra di ottene le stesse posizioni.
Se $ arccos(-\lambda) = 0$ ottengo $\theta1=0$ e $\theta2=2\pi$ mentre con la mia soluzione avrei ottenuto $0$ e $pi$.
Se $arccos(-\lambda) = \pi$ ottengo $\theta1=\theta2=\pi$ mentre nella mia soluzione avrei ottenuto $\theta1=\pi$ e $\theta2=\2pi$.
Comunque in entrambi i casi (mia soluzione e soluzione del compito) le soluzioni coprono tutte le posizioni ma con combinazioni differenti.

Quando ho degli arcocoseni o arcoseni, otterrò sempre due soluzioni così da poter coprire tutte le posizioni possibili ma non ho capito secondo quale ragionamento vado a sottrarre/sommare i vari $\pi$

Grazie mille per l'aiuto che riceverò.

PS: ho usato il tasto ricerca ma non sono riuscito a trovare nulla e dopo diverse ricerche ha smesso di farmelo usare.

Moderatore: Seneca

Sposto in Fisica.

[anonymous_0b37e9]

Le tue soluzioni non sono corrette. Infatti:

$[sin2\theta=-\lambda] rarr$

$rarr [2\theta=arcsin(-\lambda)+2k\pi] vv [2\theta=\pi-arcsin(-\lambda)+2k\pi] rarr$

$rarr [\theta=1/2arcsin(-\lambda)+k\pi] vv [\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)+k\pi]$

Non rimane che selezionare le sole soluzioni che soddisfano la condizione $[0 lt= \theta lt= 2\pi]$:

$[\theta=1/2arcsin(-\lambda)+\pi=\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=1/2arcsin(-\lambda)+2\pi=2\pi-1/2arcsin\lambda]$

$[\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)=\pi/2+1/2arcsin\lambda]vv [\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)+\pi=3/2\pi+1/2arcsin\lambda]$

[Lorenz8]

Le tue soluzioni non sono corrette. Infatti:

$[sin2\theta=-\lambda] rarr$

$rarr [2\theta=arcsin(-\lambda)+2k\pi] vv [2\theta=\pi-arcsin(-\lambda)+2k\pi] rarr$

$rarr [\theta=1/2arcsin(-\lambda)+k\pi] vv [\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)+k\pi]$

Non rimane che selezionare le sole soluzioni che soddisfano la condizione $[0 lt= \theta lt= 2\pi]$:

$[\theta=1/2arcsin(-\lambda)+\pi=\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=1/2arcsin(-\lambda)+2\pi=2\pi-1/2arcsin\lambda]$

$[\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)=\pi/2+1/2arcsin\lambda]vv [\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)+\pi=3/2\pi+1/2arcsin\lambda]$

Scusa ma le soluzioni che ho postato sono quelle inserite nella soluzione del tema d'esame, confermate dal professore. Non ho capito a quale soluzioni ti riferisci, quindi.
Se posso vi carico le soluzioni.

[anonymous_0b37e9]

Mi riferisco a queste:

$[\theta=pi/2-arcsin(-\lambda)/2] vv [\theta=pi/2+arcsin(-\lambda)/2]$

Mentre la prima è corretta, la seconda è senz'altro sbagliata. Del resto:

$[\theta=pi/2+arcsin(-\lambda)/2] rarr [2\theta=pi+arcsin(-\lambda)] rarr [sin2\theta=sin(pi+arcsin(-\lambda))] rarr$

$rarr [sin2\theta=-sin(arcsin(-\lambda)] rarr [sin2\theta=\lambda)]$

Più intuitivamente, siccome quella soluzione giace nel 1° quadrante, il suo doppio giace nel 1° o nel 2°. Insomma, il suo seno non può essere negativo. Inoltre, a rigore, ne mancano altre due.

[Lorenz8]

Mi riferisco a queste:

$[\theta=pi/2-arcsin(-\lambda)/2] vv [\theta=pi/2+arcsin(-\lambda)/2]$

Mentre la prima è corretta, la seconda è senz'altro sbagliata. Del resto:

$[\theta=pi/2+arcsin(-\lambda)/2] rarr [2\theta=pi+arcsin(-\lambda)] rarr [sin2\theta=sin(pi+arcsin(-\lambda))] rarr$

$rarr [sin2\theta=-sin(arcsin(-\lambda)] rarr [sin2\theta=\lambda)]$

Più intuitivamente, siccome quella soluzione giace nel 1° quadrante, il suo doppio giace nel 1° o nel 2°. Insomma, il suo seno non può essere negativo. Inoltre, a rigore, ne mancano altre due.

A questo punto credo di aver sbagliato qualcosa nell'impostazione iniziale o nell'interpretare il testo. In allegato gli screen delle soluzioni per le posizioni di equilibrio.

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

[anonymous_0b37e9]

Intanto, le coordinate di A sono invertite.

[Lorenz8]

Sì, sono invertite ma il potenziale è corretto a meno di un segno che è già segnalato nel PDF. Sono corrette anche le derivate rispetto ad $x$ e $\theta$

[anonymous_0b37e9]

Ok. Delle soluzioni riportate nel testo:

$[\theta_1=pi/2-arcsin\lambda/2] vv [\theta_2=pi/2+arcsin\lambda/2]$

identiche a quelle che hai scritto nel messaggio di apertura:

$[\theta_1=pi/2+arcsin(-\lambda)/2] vv [\theta_2=pi/2-arcsin(-\lambda)/2]$

la prima è senz'altro sbagliata. Tra l'altro, la condizione:

$[\pi/4 lt= \theta lt= 3/4\pi]$

sovrapponendosi al primo quadrante e per le argomentazioni del mio messaggio precedente, non promette nulla di buono. Ad ogni modo, ragionando più fisicamente, visto che la reazione vincolare è diretta lungo l'asse y, solo se l'estremo A giace sul medesimo asse il sistema può essere in equilibrio. Infatti:

$[x=lcos\theta]$

Inoltre, per avere equilibrio alla rotazione, deve necessariamente essere:

$[\pi/2 lt \theta lt \pi] vv [3/2\pi lt \theta lt 2\pi]$

altrimenti il momento della forza elastica e il momento della coppia oraria tenderebbero a ruotare il sistema nello stesso senso. Infine, non è un caso che le soluzioni illustrate nel mio primo messaggio:

$[\theta=\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=2\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=\pi/2+1/2arcsin\lambda] vv [\theta=3/2\pi+1/2arcsin\lambda]$

rispettino le condizioni di cui sopra.

[Lorenz8]

Ok. Delle soluzioni riportate nel testo:

$[\theta_1=pi/2-arcsin\lambda/2] vv [\theta_2=pi/2+arcsin\lambda/2]$

identiche a quelle che hai scritto nel messaggio di apertura:

$[\theta_1=pi/2+arcsin(-\lambda)/2] vv [\theta_2=pi/2-arcsin(-\lambda)/2]$

la prima è senz'altro sbagliata. Tra l'altro, la condizione:

$[\pi/4 lt= \theta lt= 3/4\pi]$

sovrapponendosi al primo quadrante e per le argomentazioni del mio messaggio precedente, non promette nulla di buono. Ad ogni modo, ragionando più fisicamente, visto che la reazione vincolare è diretta lungo l'asse y, solo se l'estremo A giace sul medesimo asse il sistema può essere in equilibrio. Infatti:

$[x=lcos\theta]$

Inoltre, per avere equilibrio alla rotazione, deve necessariamente essere:

$[\pi/2 lt \theta lt \pi] vv [3/2\pi lt \theta lt 2\pi]$

altrimenti il momento della forza elastica e il momento della coppia oraria tenderebbero a ruotare il sistema nello stesso senso. Infine, non è un caso che le soluzioni illustrate nel mio primo messaggio:

$[\theta=\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=2\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=\pi/2+1/2arcsin\lambda] vv [\theta=3/2\pi+1/2arcsin\lambda]$

rispettino le condizioni di cui sopra.

Dalle derivate del potenziale rispetto alle coordinate lagrangiane ottengo tutte le posizioni di equilibrio, non sto valutando adesso la loro stabilità o instabilità, quello lo faccio dopo ricavandolo dall'Hessiana. Quindi, mi vuoi dire che la prima soluzione per $\theta$ è errata?
Giusto per capire cosa dire al prof perché se non mi posso fidare del risultato che ho davanti risulta difficile avere una conferma dalle soluzioni.

[anonymous_0b37e9]

Ripeto, anche solo dal punto di vista puramente matematico:

$[\theta=pi/2-arcsin\lambda/2] rarr [0 lt \theta lt pi/2] rarr [0 lt 2\theta lt pi] rarr [sin2\theta gt 0]$

è in contraddizione con $[sin2\theta=-\lambda]$.