Evaporazione sottovuoto

[bluprozac]

Ciao a tutti,

sono nuovo del forum quindi spero sia la sezione giusta.

Sto studiando un problema di evaporazione sottovuoto. In sostanza è un meccanismo sfruttato industrialmente per raffreddare un prodotto. Creando il vuoto mediante una pompa, si abbassa la pressione nel serbatoio dove si trova il mio prodotto andando a raggiungere la saturazione. L'acqua evapora portando via calore latente, e quindi raffreddando il prodotto.

Il mio problema è questo. Voglio determinare il tempo che ci metto a raffreddare una massa M di prodotto da Ti a Tf.

La quantità di calore da rimuovere la posso trovare con la formula del calore scambiato Q=Mcp(Ti- Tf). Io so la potenza della mia pompa quindi potrei determinare il tempo dalla formula t=L/P. Solo che per la determinazione del lavoro come faccio?in alternativa ho pensato di trovare quest'ultimo dall'efficienza epsilon=Q/L. che però non so..qualche idea?

[mdonatie]

Per determinare la variazione di temperatura in relazione al tempo ti conviene considerare l'equazione di bilancio delle potenze, per il quale per un sistema chiuso e considerando la sola energia interna al sistema:
$M(t) (d \hat(H) (t))/(dt) + \hat H(t) (dM(t))/(dt) = \dot Q + \dot L_m + V (dp)/(dt)$
Poiché il sistema è un sistema chiuso, allora il termine di accumulo $(dM)/(dt)=0$ e nel caso di variazione di temperatura dovuta al calore sensibile allora $\hat (H)(t) = c_p (T(t)) T(t)$ che per semplicità potresti ipotizzare il calore specifico indipendente dalla temperatura: $c_p(T(t))=c_p$ allora l'equazione di bilancio la puoi riscrivere come:
$M c_p (dT(t))/(dt)= \dot Q + \dot L_m + V (dp)/(dt)$

Ora devi considerare le trasformazioni:

Per quanto riguarda la trasformazione isoterma, la variazione di entalpia è data solo dalla variazione di entalpia per la pressione:
$\Delta H_T = \int_(P_1)^(p_s) [ V - T ( (\partial V) / (\partial T) )_p ]_T dp$
*che nel caso dei gas perfetti puoi considerare solo $\Delta H_T= \lambda(p_s(T))$
Questa sarà quindi l'energia utile ai fini del raffreddamento.

Ora poiché si conosce la quantità di energia necessaria al raffreddamento $\DeltaH_T$, scriviamo l'isobara:
$M c_p dT=\DeltaH_T dt$

Dalla risoluzione della relazione differenziale ricavi l'andamento con il tempo.

[bluprozac]

Per determinare la variazione di temperatura in relazione al tempo ti conviene considerare l'equazione di bilancio delle potenze, per il quale per un sistema chiuso e considerando la sola energia interna al sistema:
M(t)dHˆ(t)dt+Hˆ(t)dM(t)dt=Q.+L.m+Vdpdt

che equazione è?puoi darmi qualche riferimento bibliografico..perchè cosi non mi dice niente

Ora poiché si conosce la quantità di energia necessaria al raffreddamento ΔHT, scriviamo l'isobara:
McpdT=ΔHTdt

questa eq non mi torna dimensionalmente da una parte abbiamo i joule, dall'altra joule per secondo.

non sarebbe più facile collegare la relazione del calore che q=mcpdt all'energia interna e quindi al lavoro in qualche modo?Anche perchè io di partenza so poche cose..le temperature, le pressioni i volumi , massa e calore specifico.

[mdonatie]

Dal Sandler Chemical, Biochemical and Engineering Thermodynamics IV edizione
Alla pagina 35 trovi i bilanci di materia, alla pagina 45 trovi il principio di conservazione dell'energia.

Considerando un sistema aperto in cui è presente $\dotQ$ (potenza termica) , $\dot L_m$ (potenza meccanica) , $-p(dV)/(dt)$ (lavoro effettuato dalle forze esterne su unità di tempo) e $\sum F_i (\hat(E)_i + p_i \hat(V)_i)$ (potenza entrante nel sistema).
$(dE)/(dt)=\dotQ + \dotL_m -p(dV)/(dt) + (\sumF_i (\hat(E)_i + p_i \hat(V)_i))_(\text(in)) - (\sumF_i (\hat(E)_i + p_i \hat(V)_i))_(\text(out))$

Puoi considerare un sistema chiuso, allora $\sum F_i (\hat(E)_i + p_i \hat(V)_i ) = 0$
possiamo ipotizzare che la potenza meccanica sia nulla $\dot L_m = 0$
Quindi il bilancio delle potenze è il seguente:
$(dE)/(dt) = \dot Q - p (dV)/(dt)$

Possiamo assumere che il contributo energetico sia solo quello dovuto dall'energia interna, trascurando l'energia cinetica e potenziale del sistema.
$(dU)/(dt)= \dot Q - p (dV)/(dt)$

Dalla definizione di entalpia $H=U+pV$ allora puoi scrivere il bilancio attraverso questa:
$(d(H-pV))/(dt) = \dotQ - p(dV)/(dt)$
Quindi quando sviluppi l'equazione:
$(dH)/(dt)= \dot Q + V (dp)/(dt)$

L'energia la puoi esprimere anche come energia specifica: $E=M\hat(E)$
$(d(M\hat(H)))/(dt) = \dot Q + V(dp)/(dt)$ $rarr$ $\hat(H) (dM)/(dt) + M (d\hat(H))/(dt) = \dot Q + V (dp)/(dt)$

Poiché abbiamo considerato un sistema chiuso, non c'è variazione di massa all'interno: $(dM)/(dt) = 0$
Nel caso di in cui il calore specifico sia indipendente dalla temperatura: $(d\hat(H))/(dt) = c_p (dT)/(dt)$

Quindi il bilancio lo puoi riscrivere come $Mc_p(dT)/(dt) = \dotQ + V (dp)/(dt)$

Sviluppando l'equazione differenziale: $Mc_pdT= \dot Q dt + V dp$

Poi nel caso di una trasformazione isoterma fino alla vaporizzazione per un gas perfetto puoi considerare che il calore scambiato sia $\DeltaH_T$.
Nel bilancio io ho considerato le potenze perciò dovresti considerare il calore scambiato su unità di tempo.
Quindi $\Delta \dot(H)_T= \dot Q$
Quindi nel caso più semplice come già precedentemente scritto: $Mc_pdT=\dot \lambda dt$