problema gravitazione

[matteo_g]

Ciao a tutti, questo è il mio primo messaggio nel forum, ho un problema nel risolvere il seguente esercizio:
un satellite si trova in una orbita ellittica con periodo di 8*((10)^4) secondi attorno ad un pianeta di massa 7*((10)^24) kg. All'afelio, distante 4.5*((10)^7) metri dal centro, la velocità angolare è di 7.158*((10)^(-5)) rad/s .
determinare la velocità angolare al perielio.

io vorrei iniziare trovando la distanza dal perielio al fuoco dell'ellisse ma non ci riesco, inoltre mi chiedo se in questo problema il pianeta alloggia al centro dell'ellisse o su uno dei due fuochi.
grazie a tutti per la risposta!!

[mgrau]

Ti dò uno spunto, poi vediamo se se ne esce.
Conosciamo distanza e massa del pianeta. Possiamo ricavare la velocità di un'orbita circolare che passa per l'afelio.
Conosciamo il periodo del satellite, e anche quello dell'orbita circolare.
Dai due periodi, e dal diametro dell'orbita circolare, ricaviamo (terza legge di Keplero) l'asse maggiore dell'orbita del satellite.
Da qui ricaviamo per differenza la distanza del perielio.
Dalla seconda legge troviamo la velocità angolare al perielio
P.S. Prima legge. Il pianeta occupa un fuoco dell'ellisse

[matteo_g]

ciao, intanto ti ringrazio della risposta, ma purtroppo non sono arrivato a niente... mi spiego meglio:

ho visto che mi hai scritto di ricavare la velocità, io sono riuscito a ricavarla ma poi non so cosa farci (per ricavarla ho usato la seguente formula $ sqrt((G*M)/R) $ )
non so nemmeno bene quale massa devo mettere e quale velocità ottengo (se del satellite o del pianeta intorno al sole).
molto probabilmente ho problemi nella comprensione stessa degli argomenti che sta trattando il testo.
inoltre il periodo che mi viene dato come primo dato a cosa è riferito? al tempo che il satellite ci mette per ruotare intorno al pianeta oppure è il tempo che il pianeta ci mette per ruotare intorno al sole?

per quanto riguarda la prima legge di keplero io sapevo che diceva : "tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche col sole in uno dei due fuochi". perciò non ho capito come fai ad "adattare" questo discorso al contesto satellite pianeta.

saluti, Matteo.

[matteo_g]

Ti dò uno spunto, poi vediamo se se ne esce.
Conosciamo distanza e massa del pianeta. Possiamo ricavare la velocità di un'orbita circolare che passa per l'afelio.
Conosciamo il periodo del satellite, e anche quello dell'orbita circolare.
Dai due periodi, e dal diametro dell'orbita circolare, ricaviamo (terza legge di Keplero) l'asse maggiore dell'orbita del satellite.
Da qui ricaviamo per differenza la distanza del perielio.
Dalla seconda legge troviamo la velocità angolare al perielio
P.S. Prima legge. Il pianeta occupa un fuoco dell'ellisse

ti ho risposto, non so se ti arriva la notifica di un mio nuovo messaggio se faccio "rispondi".

[mgrau]

Non avevo presente quella formula, che comunque si ricava tenendo conto che per un'orbita circolare l'accelerazione centripeta $v^2/R$ deve essere uguale all'attrazione di gravità $G*M/R^2$.
La massa è quella del pianeta. Il sole non c'entra niente in questo problema, ci sono solo pianeta e satellite. Il periodo quindi è quello del satellite intorno al pianeta.
Analogamente, il satellite compie un'orbita ellittica, e il pianeta sta in uno dei fuochi.
Fai conto che le leggi di Keplero valgono per i casi in cui c'è un corpo di massa molto più grande degli altri, per cui il suo movimento si può considerare nullo, e altri corpi più piccoli che orbitano intorno a questo: quindi, o pianeti intorno al sole, o satelliti intorno a un pianeta.
A questo punto, riesci a trovare l'asse maggiore dell'orbita ellittica del satellite, conoscendo tutto (raggio, velocità, periodo) di quella circolare?

[matteo_g]

Non avevo presente quella formula, che comunque si ricava tenendo conto che per un'orbita circolare l'accelerazione centripeta $v^2/R$ deve essere uguale all'attrazione di gravità $G*M/R^2$.
La massa è quella del pianeta. Il sole non c'entra niente in questo problema, ci sono solo pianeta e satellite. Il periodo quindi è quello del satellite intorno al pianeta.
Analogamente, il satellite compie un'orbita ellittica, e il pianeta sta in uno dei fuochi.
Fai conto che le leggi di Keplero valgono per i casi in cui c'è un corpo di massa molto più grande degli altri, per cui il suo movimento si può considerare nullo, e altri corpi più piccoli che orbitano intorno a questo: quindi, o pianeti intorno al sole, o satelliti intorno a un pianeta.
A questo punto, riesci a trovare l'asse maggiore dell'orbita ellittica del satellite, conoscendo tutto (raggio, velocità, periodo) di quella circolare?

Ciao, scusa se ti rispondo ora ma ho provato a rileggere la parte teorica e mi ci è voluto un bel po' di tempo...
ho provato a rifare l'esercizio, anche leggendo i tuoi suggerimenti ma ancora non mi torna (deve tornare $ 9.2*10^-5 $ ) e non capisco dove sto sbagliando.

ti elenco i passaggi che ho fatto:

-ho interpretato il $ (4.5)*(10^(-7)) $ come la distanza fra l'afelio e il centro del pianeta, non quello dell'ellisse
quindi ho usato il fatto che $ W=(2*pi)/T $ insieme alla terza legge di Keplero $ T^2=(4*pi^2*r^3)/(G*M) $ dove come M ho
usato quella del pianeta. così mi sono ricavato $ R=(G*M)/W $ dove R sta per il semiasse maggiore dell'ellisse

-poi tramite considerazioni geometriche ho detto che il doppio del semiasse maggiore meno $ (4.5)*(10^(-7)) $ era uguale
alla distanza fra il pianeta e il satellite nel momento che sono più vicini, quindi al perielio.

-infine ho riutilizzato la formula inversa di $ r=(G*M)/W $ per ricavare W, sostituendo ad M la massa del sole e r il perielio.
trovando come risultato $ 3.6*10^-5 $

non capisco cosa sto sbagliando

[mgrau]

Troppe formule e poche parole, non ti capisco.
Io farei così:
conosci la distanza all'afelio, conosci la massa del pianeta, trovi l'accelerazione di gravità a quella distanza:
$a_g = G.M/d^2$
Per un'orbita circolare questa deve essere uguale all'accelerazione centripeta $a_c = v^2/d => V^2/d = GM/d^2 => v = sqrt{(GM)/d}$, che è la tua formula.
Sostituendo i valori troviamo $v = sqrt{(6.67.10^-11*7*10^24)/(4.5*10^7)} = 3.22*10^3 m/s$
Il periodo di questa orbita circolare è $T = (2 pi d)/v = (2 pi * 4,5 * 10^7)/(3.22*10^3) = 8.78 * 10^4 s$
Ora applichiamo la terza legge di Keplero, $T^2/R^3 = c$, alle due orbite: quella circolare e quella ellittica:
$(8.78*10^4)^2/(2 * 4.5*10^7)^3 = (8*10^4)^2/A^3$, dove $A$ rappresenta l'asse maggiore dell'ellisse, da cui
$A = (((2 * 4.5 * 10^7)^3*(8*10^4)^2)/(8.78*10^4)^2)^(1/3)$ (non so come scrivere la radice cubica) $ = 8.46 *10^7 $
Ora siccome l'asse maggiore $A$ è la somma di afelio e perielio, il perielio vale $8.46*10^7 - 4.5*10^7 = 3.96 * 10^7$
Infine, seconda legge, le velocità angolari sono inversamente proporzionali alla distanza, quindi:
$omega_p*d_p = omega_a*d_a$, da cui ricavi $omega_p = (7.158*10^-5 * 4.5 * 10^7)/(3.96*10^7) = 8.12*10^-5 $

(sui numeri, non ci metto la mano sul fuoco...)