Relazione fra accelerazioni di cuneo e blocco

[Mynameis]

Buongiorno , oggi propongo un esercizio che mi sta creando perplessità . " Nel sistema mostrato in figura sono noti la massa $ m $ del blocco quella $ M $ del cuneo e l'angolo $ alpha $ del cuneo . Trovare l'accelerazione del cuneo $ A $ supponendo di trascurare sia la massa del filo che quella della carrucola ( che è posta in cima al cuneo ) . Tutti gli attriti sono trascurabili ." Cerco di spiegarvi il sistema perché ho qualche problema ad usare il software per le immagini. Il cuneo triangolare con angolo $ alpha $ in basso a sinistra, ha in cima quest carrucola che sulla destra presenta il filo che poi è teso attaccato ad un muro mentre sulla sinistra il filo porta sul lato sinistro del cuneo dove c'è il blocco che io ho supposto scendere e di conseguenza il cuneo muoversi con accelerazione $ A $ verso destra .
Le equazioni per un sistema non inerziale sono , per il blocco $ X: mgsenalpha-T+mAcosalpha=ma' $ e $ Y:N+mAsenalpha-mgcosalpha=0 $ con il sistema con asse parallelo al piano inclinato verso il basso
Per M : $ X: N'senalpha-Tcosalpha=MA $ e $ Y: R-Mg-N'cosalpha=0 $ con $ N'=N+mAsenalpha $ . Qui il sistema ha asse x parallelo al suolo rivolto verso destra . Prendendo la prima , la seconda e la terza equazione ( nella quale vado a sostituire il valore di $ N' $ sopra scritto , ottengo un sistema che per essere risolto ha bisogno di una ultima relazione tra le accelerazioni per potere essere di 3 equazioni e 3 incognite ; purtroppo però non riesco a trovare questa relazione . Per inestensibilità della fune la accelerazione del cuneo $ A $ dovrebbe essere uguale a quella con cui il blocco scende lungo il piano però devo proiettarle su uno stesso asse , essendo vettori ... Mi potete dare una mano ?

[anonymous_0b37e9]

... purtroppo però non riesco a trovare questa relazione ...

In assenza di distacco, dovresti imporre l'uguaglianza delle componenti dell'accelerazione assoluta del blocco e del cuneo lungo la direzione perpendicolare al piano.

Il cuneo triangolare con angolo α in basso a sinistra, ha in cima questa carrucola che sulla destra presenta il filo che poi è teso attaccato ad un muro ...

Presumo che il tratto attaccato al muro sia orizzontale:

Te lo chiedo perché non sono affatto convinto del secondo termine a primo membro dell'equazione sottostante:

$[N'senalpha-Tcosalpha=MA]$

Quali considerazioni ti hanno indotto a non esprimerlo come $T(1-cos\alpha)$?

[Shackle]

Ciao , scusate l'intromissione. Credo che l'esercizio sia questo :

viewtopic.php?f=19&t=173003#p8269204

[anonymous_0b37e9]

In assenza di distacco, dovresti imporre l'uguaglianza delle componenti dell'accelerazione assoluta del blocco e del cuneo lungo la direzione perpendicolare al piano.

In effetti, la condizione di cui sopra, essendo equivalente a imporre che l'accelerazione relativa del blocco sia banalmente diretta lungo il piano, è assunta implicitamente dal procedimento risolutivo.

[Mynameis]

Scusate per il ritardo con cui rispondo . Prima di tutto grazie per le risposte . Dunque :

Presumo che il tratto attaccato al muro sia orizzontale:

$ [N'senalpha-Tcosalpha=MA] $

Quali considerazioni ti hanno indotto a non esprimerlo come $ T(1-cos\alpha) $?

Presumi bene , il tratto attaccato al muro è esattamente come in figura . Ciò che non mi ha portato a scrivere $ T(1-cosaplha) $ è la mia , errrata suppongo , considerazione riguardo l'azione della tensione sul cuneo . Ho considerato una tensione agente sul cuneo diretta solamente lungo il piano inclinato mentre bisogna a questo punto , deduco da quello che hai scritto tu , considerarla agente nelle due direzioni in figura ...

In assenza di distacco, dovresti imporre l'uguaglianza delle componenti dell'accelerazione assoluta del blocco e del cuneo lungo la direzione perpendicolare al piano.

In effetti, la condizione di cui sopra, essendo equivalente a imporre che l'accelerazione relativa del blocco sia banalmente diretta lungo il piano, è assunta implicitamente dal procedimento risolutivo.[/quote]


Ma il cuneo non ha accelerazione assoluta lungo la ortogonale al piano... o forse mi perdo qualcosa ?? La sua accelerazione assoluta è diretta esclusivamente lungo l'orizzontale

[anonymous_0b37e9]

Ho considerato una tensione agente sul cuneo ...

Il cuneo interagisce con il filo tramite la carrucola di dimensioni trascurabili. Sul tratto di filo a contatto con la carrucola agiscono 3 forze: le due tensioni, aventi lo stesso modulo, rappresentate nella figura precedente e la forza $[vecF_(cf)]$ che il cuneo, tramite la carrucola, esercita sul medesimo tratto di filo. Poiché il tratto di filo ha massa trascurabile, la somma delle tre forze deve essere nulla. Inoltre, per il principio di azione e reazione, la forza $[vecF_(cf)]$ è opposta alla forza $[vecF_(fc)]$ che il filo, tramite la carrucola, esercita sul cuneo. In definitiva:

$[vec(T_1)+vec(T_2)+vecF_(cf)=0] ^^ [vecF_(cf)=-vecF_(fc)] rarr [vecF_(fc)=vec(T_1)+vec(T_2)]$

Ma il cuneo non ha accelerazione assoluta ...

In assenza di distacco, dovresti imporre l'uguaglianza delle componenti dell'accelerazione assoluta del blocco e del cuneo lungo la direzione perpendicolare al piano.

La condizione di cui sopra, pur essendo vera, non è sufficiente a risolvere il problema. Essa si riduce banalmente a:

$[veca_(b(ass))=veca_(c(ass))] rarr [veca_(b(rel))+veca_(b(tras))=veca_(c(ass))] rarr [veca_(b(rel))+veca_(c(ass))=veca_(c(ass))] rarr$

$rarr [veca_(b(rel))=0]$ (lungo la direzione perpendicolare al piano)

Come dire che l'accelerazione relativa del blocco è parallela al piano inclinato, condizione talmente ovvia da essere assunta implicitamente dal procedimento risolutivo. L'ulteriore condizione necessaria per risolvere il problema è quella che trovi nel link proposto da Shackle, ossia, l'accelerazione assoluta del cuneo è uguale, in modulo, all'accelerazione relativa del blocco.

La sua accelerazione assoluta è diretta esclusivamente lungo l'orizzontale.

Certamente.

[Mynameis]

Avevo già letto il link con relativa discussione postato da Shackle . All'interno della medesima discussione chiaramente si fa riferimento all'eguaglianza dei moduli delle accelerazioni dei due corpi a causa della inestensibilità del filo . Ma mi sorge un dubbio , possibilmente anche stupido : il problema è allora risolto semplicemente imponendo come ultima equazione risolutrice $ A=a_r $ ?? Andando a sostituire brutalmente nelle equazioni del moto ? ( che sono le stesse che Shackle aveva riportato in degli appunti nel post di cui sopra ) . Io , probabilmente in maniera stupida , cercavo di capire quali componenti delle accelerazioni dovevo andare a prendere ; ad esempio pensavo fosse $ a_r cosalpha = A $ poiché proiettavo tutto sul piano orizzontale , accorgendomi solo adesso però che in questo modo violavo tutte le equazioni della dinamica del blocco che erano state scritte per un sistema di riferimento esattamente identico a quello scelto da Shackle nel suo svolgimento

[Shackle]

Ciao. Intervengo perchè chiamato in causa dal link che ho messo.

....il problema è allora risolto semplicemente imponendo come ultima equazione risolutrice $ A=a_r $ ?? Andando a sostituire brutalmente nelle equazioni del moto ? ( che sono le stesse che Shackle aveva riportato in degli appunti nel post di cui sopra ) .

Si, te lo ha confermato anche Sergeant Elias. Cosi come per quella forza , che vale $T(1-cosalpha) $ .

Io , probabilmente in maniera stupida , cercavo di capire quali componenti delle accelerazioni dovevo andare a prendere ; ad esempio pensavo fosse $ a_r cosalpha = A $ poiché proiettavo tutto sul piano orizzontale ....

Supponi, per ipotesi, che fosse $alpha = (pi)/2 $ , e quindi $cosalpha = 0 $ . Se fosse vero quello che scrivi, il blocco avrebbe $A=0$ , il che non è giusto.
Quando uno fa delle ipotesi sbagliate, non lo fa "in maniera stupida" . "Sbagliato" non vuol dire "stupido" .

...accorgendomi solo adesso però che in questo modo violavo tutte le equazioni della dinamica del blocco che erano state scritte per un sistema di riferimento esattamente identico a quello scelto da Shackle nel suo svolgimento

e allora, se ti tornano anche le equazioni, sei a cavallo !

[Mynameis]

Grazie mille a Shackle e @anonymous_0b37e9 , chiari e disponibili come sempre