Orologio - Calcolare il tempo nella quale le lancette si sovrappongono

[pritt]

Buongiorno a tutti ragazzi, questo è il mio primo thread, vorrei parlarvi di questo esercizio:
"Alle nove del mattino l’angolo tra la lancetta dei minuti e quella delle ore di un orologio
forma un angolo di θ. Calcolare, esprimendo il risultato in secondi, dopo quanto tempo le
lancette si sovrappongono.
(θ=π/2"
Considerando il testo, mi rendo conto che la lancetta delle ore è sfasata di -90 gradi rispetto a quella dei minuti. Ma prima di arrivarci, valuto le due velocità angolari.
\( \varpi{}_{\phantom{}1} =\varpi{}_{\phantom{}ore} = \frac{2\pi }{43200s} \) Considerando che la lancetta delle ore ritorna nella posizione iniziale solo dopo aver passato 12h = 43200s;
\( \varpi{}_{\phantom{}2} = \varpi{}_{\phantom{}min} = \frac{2\pi }{3600s} \) In questo caso la lancetta dei minuti compie un giro completo dopo 60 min = 3600s.
Fatte queste considerazioni ottengo le mie due velocità angolari. Sapendo che questo è un moto circolare uniforme, sarà valida la seguente relazione: \( \Theta(t)= \Theta_{\phantom{}0} + \varpi t \) . Di conseguenza, poichè entrambe le lancette si spostano all'unisono, pongo le due relazioni adattate alle condizioni proposte dal problema.
\( \begin{cases} \Theta(t) - \frac{\pi} {2}= \varpi{}_{\phantom{}1}t \\ \Theta(t) + 2\pi=\varpi{}_{\phantom{}2}t \end{cases} \)
Nella prima equazione riporto lo sfasamento dell'angolo di 90 gradi.. e nella seconda considero il fatto che dopo 60 min sarà avanti di un giro completo rispetto alle ore.
Sono giuste queste considerazioni? Poi nel caso, ricaverei sia angolo che tempo.
Grazie a tutti

[pritt]

Aggiornamento. Nella prima equazione, se considero l'angolo retto positivo, dovrei avere la soluzione corretta.. infatti ottengo 49,09 min che effettivamente, se portiamo avanti le lancette, entrambe le lancette sono parallele.
Risolvendolo nel modo precedente - sarà per coincidenza, o forse no - ottenevo 81.82 minuti.. che guarda caso rappresentava esattamente entrambe le lancette parallele, ma con verso OPPOSTO.
Come mai le mie considerazioni iniziali erano sbagliate? Eppure credo di aver considerato il fatto che il primo fosse un ritardo (perciò l'ho negato) ed il secondo un anticipo rispetto le ore.. Cioè, è come se attribuisco segno negativo all'angolo iniziale sia nel caso di uno svantaggio che in quello di un vantaggio..

[axpgn]

Sinceramente non ho approfondito il tuo ragionamento, non so se ti serva ma io avrei fatto così, informalmente ...

Se sono le nove esatte la lancetta dei minuti ha uno "svantaggio" di $270°$ da recuperare su quella delle ore; quando l'avrà raggiunta la lancetta delle ore avrà "camminato" per un angolo $phi$ mentre quella dei minuti per $270+phi$.
Dato che quella dei minuti va dodici volte più veloce deve essere $270+phi=12phi$ da cui $phi=270/11$, come da te trovato ...

Cordialmente, Alex

[pritt]

In effetti l'abbiamo risolto con due sistemi di riferimento differenti.. ovvero: io ho considerato l'angolo retto, mentre tu hai considerato l'angolo complementare di 270°.. Ora però ho un dubbio importante sul segno.. In generale, l'equazione di un MCU si presenta attraverso la somma tra la posizione angolare iniziale ed il prodotto della velocità angolare per il tempo.. Percui, nelle condizioni iniziali dovrei dichiarare un angolo in ritardo rispetto all'asse dei minuti di 90°.. quindi negativo.. di conseguenza l'anticipo angolare di 2Pigreco in riferimento all'asse dei minuti (perchè una volta oltrepassata la condizione di parallelismo, i minuti avranno compiuto un giro in più rispetto alle ore) doveva essere positivo..

Ma se considero cio, mi vien fuori una condizione di parallelismo inversa... avrò la lancetta delle ore parallela a quella dei minuti, ma con verso opposto..

[axpgn]

Secondo me ti stai complicando la vita inutilmente ... è analogo ad un "inseguimento" rettilineo, una lancetta insegue l'altra ... c'è un distacco iniziale ($theta=270°$) e due "corridori" con velocità diverse ($omega_1$ e $omega_2$) ma "legate" fra loro
($omega_2=12omega_1$).

Dopo un certo tempo $t$ una raggiunge l'altra e dalle leggi orarie ($phi_1=omega_1t\ ->\ t=phi_1/omega_1$ e $phi_
2=omega_2t\ ->\ t=phi_2/omega_2$), uguagliandole e sapendo che $phi_2=phi_1+theta$ otteniamo $phi_1/omega_1=phi_2/omega_2\ ->\ omega_2phi_1=omega_1phi_2\ ->\ 12omega_1phi_1=omega_1(270+phi_1)\ ->\ 12phi_1=270+phi_1\ ->\ 12phi_1-phi_1=270\ ->\ phi_1=270/11$

Cordialmente, Alex

[Faussone]

Indice 1: lancetta minuti
Indice 2: lancetta ore

$theta_1(t)=omega_1*t$
$theta_2(t)=omega_2*t+3/2*pi$

La lancetta delle ore è infatti 270° ($3 pi /2$ radianti) più avanti di quella dei minuti.
Quando si eguaglia per risolvere va scritto:
$theta_1(t)=theta_2(t)+2*pi*k$

In questo modo per tutti i $k$ interi si ottengono tutte le possibili sovrapposizioni.

Risolvendo il sistema si ottiene il risultato cercato per $k=0$.

Avremmo anche potuto considerare che la lancetta delle ore fosse 90° indietro rispetto a quella dei minuti, ma a quel punto il risultato cercato si ottiene per $k=1$, visto che per $k=0$ si ottiene quanto tempo prima delle nove le lancette erano sovrapposte ($t$ negativo).

[pritt]

Ti ringrazio, ho compreso.. non l'avevo esaminato sotto questo aspetto, in tal caso, non mi si presenta quella problematica.

[pritt]

Indice 1: lancetta minuti
Indice 2: lancetta ore

$theta_1(t)=omega_1*t$
$theta_2(t)=omega_2*t+3/2*pi$

La lancetta delle ore è infatti 270° ($3 pi /2$ radianti) più avanti di quella dei minuti.
Quando si eguaglia per risolvere va scritto:
$theta_1(t)=theta_2(t)+2*pi*k$

In questo modo per tutti i $k$ interi si ottengono tutte le possibili sovrapposizioni.

Risolvendo il sistema si ottiene il risultato cercato per $k=0$.

Avremmo anche potuto considerare che la lancetta delle ore fosse 90° indietro rispetto a quella dei minuti, ma a quel punto il risultato cercato si ottiene per $k=1$, visto che per $k=0$ si ottiene quanto tempo prima delle nove le lancette erano sovrapposte ($t$ negativo).

Potresti delucidarmi sull'uso della costante K? Non ho compreso la sua funzione..

[Faussone]

Potresti delucidarmi sull'uso della costante K? Non ho compreso la sua funzione..

Le lancette possono sovrapporsi dopo aver fatto 0 giri (k=0), un giro (k=1) due giri (k=2) e così via.

[pritt]

Potresti delucidarmi sull'uso della costante K? Non ho compreso la sua funzione..

Le lancette possono sovrapporsi dopo aver fatto 0 giri (k=0), un giro (k=1) due giri (k=2) e così via.

Benissimo, grazie mille a tutti