Spira quadrata che entra in un campo d'induzione magnetica

[TheDroog]

Una spira quadrata disposta sul piano x-y di lato $l=20 cm$, con resistenza $R= 0.3 Omega$, viaggia con velocità costante $v=1 m/s$. Entra quindi in una regione in cui è presente un campo di induzione magnetica $B=(Bx,By,Bz)$ con $Bx=By=Bz= 0.1 T$.
Descrivere la legge oraria della particella da quando entra nella regione in cui è presente $B$ a quando è totalmente entrata in questa regione. Cosa accade successivamente ?


Il campo magnetico non è uniforme (almeno credo, visto che il testo non lo dice). Quindi, sia quando la partciella entra nella regione che quando è totalmente immersa, il flusso concatenato con la spira è diverso da zero e questa variazione di flusso genera una fem indotta: $fem=- (dPhi(B))/dt$ e di conseguenza una corrente indotta: $i = (fem)/R$, giusto? La legge oraria sarebbe quella legata al campo d'induzione magnetica $B(t)$ ? Come la posso trovare?

[mgrau]

una regione in cui è presente un campo di induzione magnetica $B=(Bx,By,Bz)$ con $Bx=By=Bz= 0.1 T$.
Il campo magnetico non è uniforme (almeno credo, visto che il testo non lo dice).

Mi sembra che dica che è uniforme

Quindi, sia quando la particella entra nella regione che quando è totalmente immersa, il flusso concatenato con la spira è diverso da zero e questa variazione di flusso....

Mi pare che confondi il flusso con la variazione di flusso... quando sta entrando c'è variazione, dopo c'è flusso ma non c'è variazione di flusso. Sulla spira agiscono forze (di frenamento, e costanti) solo nella transizione fra il fuori e il dentro.
La forza la trovi calcolando la forza sui due lati opposti che si trovano in zone con valore diverso di B

[TheDroog]

Ricapitolando, se il campo d'induzione magnetica è uniforme, quano la spira è entrata completamente in questo campo non è soggetta ad una variazione di flusso anche se vi è un flusso, quindi $fem=0$ , giusto? Invece quando la spira è appena entrata vi è una variazione di flusso e quindi una fem indotta: $ fem=- (dPhi(B))/dt $ e quindi una corrente indotta: $ i = (fem)/R $ , come già detto. Di conseguenza la forza vale: $F= iLB = ((fem)/R)*LB$ , giusto? La legge oraria corrisponde al valore del campo d'induzione magnetica B(t)? Quanto vale nei due casi ? Grazie dell'aiuto.

[mgrau]

Ricapitolando, se il campo d'induzione magnetica è uniforme, quano la spira è entrata completamente in questo campo non è soggetta ad una variazione di flusso anche se vi è un flusso, quindi $fem=0$ , giusto?

Giusto

Invece quando la spira è appena entrata vi è una variazione di flusso e quindi una fem indotta: $ fem=- (dPhi(B))/dt $ e quindi una corrente indotta: $ i = (fem)/R $ , come già detto. Di conseguenza la forza vale: $F= iLB = ((fem)/R)*LB$ , giusto?

Giusto, ma forse questo è uno dei casi in cui è più comodo trovare la fem da $V = v*L*B$ piuttosto che dal flusso. In sostanza, i lati orizzontali non producono una fem indotta, i lati verticali la producono, uguale, se sono immersi nel campo magnetico, quindi se sono immersi entrambi le due fem si annullano, allora c'è corrente quando uno solo dei lati risente di B.

La legge oraria corrisponde al valore del campo d'induzione magnetica B(t)? Quanto vale nei due casi ? Grazie dell'aiuto.

Questa non l'ho capita. La spira subisce una forza costante per il tempo in cui attraversa la "frontiera" fra B zero e non zero.
In questo tempo il moto è uniformemente decelerato, quando è entrata del tutto diventa uniforme, come era uniforme prima.

[TheDroog]

Giusto, ma forse questo è uno dei casi in cui è più comodo trovare la fem da $V = v*L*B$ piuttosto che dal flusso.

Intedi: $fem= ointvec(E)*vec(dl)=vBl $ con $ vec(E) = vec(F_L)/q=vB $ (campo elettromotre) con $ vec(F_L) = qvec(v) xxvec(B)$ (forza di Lorentz) $=qvb$ (essendo $vec(v)$ perpendicolare alle linee di forza di $vec(B)$) $ ?

In sostanza, i lati orizzontali non producono una fem indotta, i lati verticali la producono, uguale, se sono immersi nel campo magnetico, quindi se sono immersi entrambi le due fem si annullano, allora c'è corrente quando uno solo dei lati risente di B.

Quindi, quando la spira è completamente immersa, non vi è né fem indotta né corrente indotta ma, quando è appena entrata, la corrente, e di conseguenza la forza, dipendono solo dal lato destro (cioè quello che è già entrato nel campo d'induzione magnetica) ?

Questa non l'ho capita

Vorrei sapere esattamente cosa si intende per legge oraria. Cioè, effettivamente, cosa "vuole sapere" l'esercizio ? Come trovo questa legge oraria?

Grazie dell'aiuto !

[mgrau]

Intedi: $fem= ointvec(E)*vec(dl)=vBl $ con $ vec(E) = vec(F_L)/q=vB $ (campo elettromotre) con $ vec(F_L) = qvec(v) xxvec(B)$ (forza di Lorentz) $=qvb$ (essendo $vec(v)$ perpendicolare alle linee di forza di $vec(B)$) ?

Non ho capito tutto, ma direi di sì...

Quindi, quando la spira è completamente immersa, non vi è né fem indotta né corrente indotta ma, quando è appena entrata, la corrente, e di conseguenza la forza, dipendono solo dal lato destro (cioè quello che è già entrato nel campo d'induzione magnetica) ?

Sì: c'è fem e corrente quando uno solo dei lati verticali è immerso nel campo

Vorrei sapere esattamente cosa si intende per legge oraria. Cioè, effettivamente, cosa "vuole sapere" l'esercizio ? Come trovo questa legge oraria?

La legge oraria sarebbe la posizione in funzione del tempo. Qui non abbiamo la massa della spira, quindi non abbiamo l'accelerazione, perciò non possiamo rispondere.
Inoltre, mi accorgo che ho detto prima una fesseria, perchè mentre la spira rallenta, diminuisce anche la corrente e la forza frenante, quindi l'accelerazione non è costante, ma diminuisce e verrà fuori una qualche equazione differenziale. Siccome c'è una forza frenante proporzionale alla velocità, è una specie di attrito viscoso, ma qui, per me, si va nel difficile...

[TheDroog]

Quindi non "possiamo" rispondere al quesito dell'esercizio? Successivamente cosa accade? Bisogna vedere se la spira, subendo questa decelerazione, si ferma? Quindi bisogna vedere se resta immersa del tutto nel campo o se esce dal campo?

[mgrau]

Già. Non avendo la massa, non si può. E' chiaro che se la spira è molto leggera magari si ferma, e se invece è molto massiccia, entra nel campo magnetico senza quasi fare una piega.
Ma anche avendo la massa, non credo che sarebbero rose e fiori, almeno per me.

[TheDroog]

Va bene. Ti ringrazio di tutto! Non si può neanche definire una sorta di formula per questa legge oraria? Senza calcolarne il valore numerico intendo..

[mgrau]

Si può scrivere l'equazione differenziale del moto. Sappiamo che c'è una certa velocità iniziale, e, da un certo momento, c'è una accelerazione (negativa) proporzionale alla velocità. Accelerazione che però cessa dopo che è stato percorso un certo spazio (il lato della spira). Per i miei mezzi è troppo complicato.