Un carello di massa trascurabile accelera?

[BigDummy]

Come da titolo, un carrello di massa trascurabile sul quale agisce una forza accelera? In particolare, ho un carrello di massa trascurabile sul quale agisce una forza F verso destra e inoltre sul carello vi è un disco di massa M che rotola verso sinistra. Per il carello avrei:
$ 0* a = F -\mu Mg $ e quindi $ F = \muMg$ .
Ma il carrello accelera quindi? Dalla prima legge di Newton non dovrebbe farlo,visto che ho $ \sum F$i $= 0$ ,giusto?

[professorkappa]

Un carrello di massa trascurabile, quindi tendente a zero, che si muove sotto l'azione di una forza, accelera el'accelerazione aumenta, ferma restando la forza F, al diminuire della massa, tendendo ad infinito.
Ma quella descritta da te e' una situazione leggermente diversa.

[BigDummy]

Ciao e grazie!
E in che modo sarebbe diversa?

[professorkappa]

C'e' un rotolone Regina sul carrello di cui devi tener conto.

[BigDummy]

In realtà il problema specifico sarebbe questo.
Ho questo carrello, di lunghezza 3L e massa trascurabile , che si muove su un binario orizzontale.Sopra il carrello poggiano due clindri di raggio R e massa M che possono compiere moto di puro rotolamento sul carrello. A t= 0 un cilindro si trova ad una distanza L da un estremo del carrello e l'altro cilindro è in posizione simmetrica. Al carrello è applicata una forza F che punta verso destra.
All'inizio i 3 corpi sono fermi. Mi chiede a quale istante cade il primo cilindro.
Io fatto cosi:
Per il carrello ho :
$0*a = F - 2\mu Mg$ --> $F = 2\mu Mg$
Per il disco invece:
$M*a = \mu Mg $ ---> $ a=\mu g = F/(2M)$
$I \alpha = \mu MgR$ ---> $ \alpha = (2\mu gR)/R = F/(MR)$

Ora però non so più continuare.
Il prof dice che il cilindro cade quando si è spostato di L rispetto al carrello,ovvero per aver ruotato di un angolo $\Theta = L/R$ .
Però non ho capito,cioè se il carrello si muove nel verso opposto, in realtà il disco fa un tratto minore di L prima di cadere, perché i due corpi si "vengono incontro" ..oppure il carrello non si muove?
E poi nella formula dell'angolo Theta, non dovrebbe essere \(\displaystyle \Theta = tratto cfr \) $/$ \(\displaystyle raggio \) ? mentre L è un segmento..boh non ho capito molto!

[professorkappa]

Il prof. ha ragione: relativamente al carrello, per cadere, il rotolo deve ruotare di $theta=L/R$.
Per trovare $theta$, basta integrare $alpha$ due volte e imporre le condizioni iniziali $alpha(0)=0$ e $omega(0)=0$

L'ultima formula non la capisco perche hai saltato qualche dollaro nella formula.

[BigDummy]

Eh io proprio questo non ho capito. Perché deve ruotare di $ \Theta = L/R$? Se i due corpi si muovono in direzioni opposte, il cilindro dovrebbe fare un tratto minore di L prima di cadere,perchè sotto il carrello sta andando in direzione opposta..
E poi, quella L che compare nella formula di Theta che cos'è? è un segmento o un tratto di crf?

[professorkappa]

L e' la distanza che il rotolo deve coprire rispetto al carrello per arrivare al bordo. A te non interessa se carrello e rotolo si vengono incontro, se calcoli tutto rispetto al carrello in movimento. In altre parole non ti serve calcolare le posizioni assolute dei corpi rispetto a un sdr fisso. Ti basta calcolare la posizione del rotolo relativamente al carrello. Cosi facendo, indipendentemente da dove si trovi il carrello a un generico istante, la distanza da coprire e' sempre L

[BigDummy]

Ho capito, grazie mille prof!
Ultima cosa, invece di integrare due volte $ \alpha$ , è lecito usare la seguente proporzione?
$ L : 2 \pi R = \Theta : 360$ e quindi $ Theta = (L*360)/(2 \pi R ) = L/R $
Il risultato è lo stesso, ma non so se è un caso oppure è effettivamente lecito ricorrere a questa osservazione

[professorkappa]

Son 2 cose diverse. L'integrazione ti dice l'angolo che il rotolo spazza in funzione di t, cioe' ti da' $theta(t)$
Quella proporzione, che e' corretta, ti da' l'angolo di cui deve ruotare il rotolone per percorrere L.

Quindi trovato $theta(t)$ tramite integrazione (facilissima), imponendo $theta(t)=Theta=L/R$ si puo' risolvere l'equazione per t e trovare il tempo necessario affinche' il rotolo percorra L.