ok allora ripercorriamo la dimostrazione passo passo, premetto che con l'equazioni di Navier-Stokes si arriva "prima" ma è necessaria una certa praticità con gli operatori differenziali.
partiamo da un volume di controllo con la possibilità di variare lungo solo una direzione, quella $x$. Definiamo un volumetto infinitesimo $dV=A dx$ quindi di area $A$ con densità a riposo $\rho_0$.
imprimendo su tale sistema una compressione si ha una variazione infinitesima $\psi$ l'ungo $x$ nell'unica direzione ammessa.
il volumetto passa dalla posizione $x$ a quella $x+\psi$ e la lunghezza del volumetto diventa $dx+d\psi$
la pressione sulla prima faccia risulterà $P$ sulla seconda $P+ (delP)/(delx) dx$ facendone la differenza hai
$dP=(delP)/(delx) dx$
ugualmente la forza che agisce sul volumetto è
$dF= A dP = -A (delP)/(delx) dx$, $(1)$
quando vuoi applicare $F=ma$ allora $m=\rho_0 A dx$ , $a=(del^2 \psi)/(delt^2)$ ; quindi
$ma= \rho_0 A dx (del^2 \psi)/(delt^2)$ , $(2)$.
l'accelerazione è stata quantificata come la variazione seconda dello spostamento $\psi$.eguagliando $(1)=(2)$
$-(delP)/(delx) = \rho_0 (del^2 \psi)/(delt^2)$
sviluppando il primo termine si ha:
$(delP)/(delx)= (dP)/(d\rho) (del\rho)/(delx)$ (chiamata regola della catena) la pressione è funzione di $\rho$ e della posizione
ammettendo che durante la compressione la massa non vari nel volumetto allora
$\rho_0 dx = \rho(dx+d\psi)$ $rArr$ $\rho=\rho_0 (1+ (del\psi)/(delx))^-1$ $rArr$ $(del\rho)/(delx)=-\rho_0
(del^2\psi)/(delx^2)$
facendo quindi le sostituzioni si ottiene
$(dP)/(d\rho) (del^2\psi)/(delx^2) = (del^2 \psi)/(delt^2)$
questo è il caso monodimensionale! esteso alle 3d si ha $(del^2 \psi)/(delt^2) = c^2 \nabla^2 \psi$
dubbio Stato soggettivo d’incertezza, da cui risulta un’incapacità di scelte, essendo gli elementi oggettivi considerati insufficienti a determinarle in un senso piuttosto che in quello opposto.