Aiuto meccanica quantistica

[lucagalbu]

Ciao a tutti

Sto facendo la tesina di fisica per il liceo scientifico soltanto che ho un problema che non riesco proprio a risolvere.
Devo analizzare la funzione d'onda di un elettrone in un atomo di H, il problema è che trovo una funzione a 3 variabili phi=f(r, theta, ro) in coordinate polari. Il problema è: una funzione del genere richiederebbe 4 dimensioni per essere disegnata!! Come si fa?
Volevo chiedere poi un'altra cosa: per risolvere l'equazione di Shrodinger indipendente dal tempo, separo le tre varibili (r, theta, ro). Visto che per risolvere le componenti angolari ci vuole un bel po' di tempo e dato che i minuti per esporre la tesina sono quelli che sono, per non dilungarmi troppo avrei pensato di considerare la funzione radiale come costante e uguale per esempio a una unità per un dato livello energetico; cioè, il mio ragionamento è: il raggio rimane sempre costante almeno che non cambio livello energetico. E' corretta come cosa? Perchè ho visto i disegni degli orbitali e vedevo che per esempio il livello s1 era una sfera di un certo raggio, mentre il livello p1 era una sfera un pò più grande, il livello d1 più grande ancora.

[giacor86]

beh io direi che in una tesina di liceo scientifico nessuno si aspetta da te la risoluzione analitica di una EDP, perdipiù l'equazione di shrodinger... nondimeno in coordinate polari (anzi sferiche)! sei sicuro che sia strettamente necessario? anche perchè annoieresti a morte il 95 % dei tuoi prof e l'unica prof che forse si ricorda qualcosa e vagamente capisce quello che stai facendo, probabilmente pensa che hai imparato i conti a memoria visto che è assai improbabile che in 5° liceo una persona abbia il background matematico per capire cosa voglia dire risolvere una EDP. per quanto riguarda il primo problema, la $psi$ (è la psi e non phi ), anche se non dipendente dal tempo, in generale è una funzone complessa e quindi non rappresentabile graficamente. Ma in generale le funzioni a 3 incognite, anche quelle reali, non possno essere disegnate. ma non è un difetto di queste. anzi, piuttosto è un pregio di quelle a 2 e a 1 variabile quelle di poter essere disegnate. bisogna tenere a mente (e al liceo questo non si capisce molto bene) che il concetto di funzione è totalmente slegato a quello di disegno.

[lucagalbu]

Non capisco perchè uno in 5° liceo non possa essere in grado di risolvere l'equazione di Shrodinger: l'ho risolta usando derivate e integrali (vabbè, ho dovuto ricorrere poi alla formula di Rodrigues e alla funzione associata di Legendre, ma non mi sembrano così difficili). Comunque, in effetti hai ragione sul fatto che annoierei il 95% dei prof, infatti avevo già pensato di eliminare un bel po' di mate e fare una descrizione qualitativa della MQ. Però mi interesserebbe comunque sapere come faccio a capire la forma dell'orbitale a partire dalla funzione d'onda.

[giacor86]

nono io non ho detto che non sei in grado! dico solo che la gente (e in particolare la tua prof di mate) potrebbe pensare che hai imparato solo il procedimento in realtà senza capire nulla del significato. poi sicuramente saprai benissimo cos'è una EDP e la saprai risolvere, non lo metto in dubbio. cmq la psi non rappresenta ancora la probabilità di trovare la particella. ciò che la rappresenta è la $|Psi|^2$. in questo modo tu hai questa funzione, ora sicuramente reale, che va da R^3 a R^1 (come dicevi no disegnabile) che ti rappresenta la distribuzione di probabilità di trovare una partieclla. Ma cos'è l'orbitale? se non ricordo male è quella zona di spazio dove hai il 95% di probabilità di trovare l'elettrone. e quindi sarà il dominio che se sul quale integri $|Psi|^2$ trovi 0,95. un dominio in R^3 ovviamente è una posrzione di spazio e questo è l'orbitale. per capirlo meglio pensa il caso + semplice monodimensionale. prendiamo ad esempio una $|Psi|^2$ fatta a forma di gaussiana. pigliamo un integrvallo [ab] tale per cui l'area sottesa fra a e b dalla gaussiana sia 0,95. ecco, il segmento ab sull'asse delle x sarà il nostro "orbitale"... ora a te estendere il ragionamento a 2 e a 3 dimensioni.

[wedge]

caro Luca, lode al tuo entusiamo, ma ti consiglio di fare attenzione: se tu beccassi un professore o commissario minimamente stronzo questo saprebbe farti crollare in un batter d'occhio. se tu conoscessi seriamente l'apparato matematico della MQ o anche solo della equazione di Schroedinger potresti fare richiesta al Ministero di saltare i primi due anni di università e iscriverti direttamente al terzo anno di Matematica, Fisica o qualunque Ingegneria.

[lucagalbu]

ora a te estendere il ragionamento a 2 e a 3 dimensioni.

Io avevo pensato a due strade: dato che l'equazione di Shrodinger l'avevo risolta separando le variabili, avrò alla fine 3 funzioni a due variabili. Se fossero in coordinate cartesiane avevo pensato di disegnare ciascuna funzione separatamente dalle altre, cioè, consideravo ciascun piano separatamente (se psi=f(x)*g(y)*h(z), disegnavo tre grafici: f(x), g(y) e h(z)) e vedevo dove era più probabile trovare l'elettrone in quel piano. Poi, unendo i vari piani trovavo la zona tridimensionale. E' una spiegazione un po' confusionaria, lo so, ma a parole non riesco a spiegarla meglio!

La seconda ipotesi era: utilizzando il calcolo differenziale, trovavo dove la funzione d'onda aveva un massimo assoluto. Questa è l'ipotesi verso la quale sono più orientato, può essere giusta?

Comunque stavo pensando di abbandonare l'idea di dimostrare la forma di un orbitale perchè è una cosa troppo lunga. Oltre alla parte di MQ volevo anche parlare degli Universi paralleli dell'interpretazione di Heverett, visto che credo che a tutti i prof interessi di più quest'ultimo argomento che non la forma di un atomo!
Però una descrizione matematica della MQ non la voglio eliminare del tutto, per questo pensavo di mostrare la funzione d'onda di una particella in una scatola considerando però solo uno stato stazionario e che la particella si possa muovere solo sull'asse x: molto più semplice e veloce!
Cosa ne pensate?

Però vorrei sapere come trovare la forma degeli orbitali, così, come curiosità mia, senza dover aspettare il terzo anno di fisca..

[giacor86]

Acquista il libro "Introduzone alla Meccanica Quantistica" di Griffiths. li sopra c'è. è un libro molto carino secondo me, in italiano matematicamente non troppo formale formale ma preciso e assolutamente non pesante (di formalismo matriciale ce n'è proprio poco, anzi quasi per nulla).

[Marco83]

Allora, in termini strettamente matematici gli orbitali non hanno alcuna forma, dal momento che psi^2 è non nulla in tutto R^3 (a meno di punti singolari). Le belle figure che vedi sui libri si trovano colorando le regioni di R^3 in cui psi^2 è maggiore di un certo valore ed escludendo le altre.

Un modo molto semplice di rappresentare funzioni in 3 variabili è usare un grafico 3D con intensità del colore variabile. Se ad esempio usi Matlab puoi calcolarti la psi^2 su un'insieme di punti enorme. Una volta che hai i valori di psi^2 in ogni punto, associ ad esso una scala di colori, dove ad un valore maggiore di psi^2 corrisponde una maggiore intensità del colore.

Concordo comunque con wedge e giacor nel suggerirti di non impegolarti in certi argomenti. Se io fossi un docente all'esame, dopo una presentazione come quella di cui parli tu sarei convinto che tu ti sia imparato a memoria il tutto e cercherei di mettertela dove non batte il sole con una domandina all'apparenza semplice ma "viscida", tipo:

Tu hai trovato la soluzione dell'equazione di schrodinger usando la separazione delle variabili. Nel metodo da te usato si IPOTIZZA che la soluzione sia scomponibile, ma a priori non ne siamo certi. Adesso che hai la soluzione, te la sentiresti di dire che non ne esistono altre, magari non ottenibili con la separazione delle variabili? Giustifica la tua risposta.

[lucagalbu]

Acquista il libro "Introduzone alla Meccanica Quantistica" di Griffiths. li sopra c'è.

Il libro ce l'ho già, è quello che uso come riferimento. Però non spiega come trovare la forma degli orbitali, ma dice:
"Visualizzare le funzioni d'onda dell'idrogeno non è facile. I chimici amano disegnare delle 'mappe di densità' nelle quali la luminosità della nuvola è proporzionale a |psi|^2. Più quantitative (ma forse più difficili da leggere) sono le superfici di densità di probabilità costante (figura 4.6)"
Non dice niente di più se non i programmi usati per creare le mappe.

Un modo molto semplice di rappresentare funzioni in 3 variabili è usare un grafico 3D con intensità del colore variabile.

Ma a mano non si può fare? Cioè, alla fine il programma non fa altro che calcolare i punti della funzione che superano ad esempio 0.90, no? Il problema è che non so come fare a trovare questi punti (o meglio, lo saprei fare, ma con una funzione Y->X)

Giustifica la tua risposta.

ok, credo che farei scena muta!

Se invece che portare l'atomo 3d portassi una particella che si muove in una buca rettangolare di profondità infinita dite che è più semplice (prevede una normale funzione cartesiana in XoY)? Non dovrebbero saltare fuori domande strane da parte del commissario, no?

[wedge]

Se invece che portare l'atomo 3d portassi una particella che si muove in una buca rettangolare di profondità infinita dite che è più semplice (prevede una normale funzione cartesiana in XoY)? Non dovrebbero saltare fuori domande strane da parte del commissario, no?

guarda, potrebbe chiederti comunque mille cose, a seconda della sua stronzaggine (la mia sarebbe ENORME ).
perchè ad esempio nell'equazione di Schrodinger il momento e l'energia vengono sostituiti da degli operatori differenziali? che relazione c'è tra un osservabile e un campo vettoriale?