Giro della morte

[Freebulls]

Buonasera, devo svolgere questo esercizio

Un’automobile di massa $m=1000 kg$ compie un “giro della morte” circolare di raggio $R=40m$ in un piano verticale alla velocità costante di $108 \text(km/h)$, su una pista con coefficiente di attrito dinamico $\mu=0.3$. Possiamo trascurare la resistenza dell’aria.
a) Al di sotto di quale valore della velocità il giro non verrebbe completato, e perchè?
b) Quanta energia ha fornito complessivamente il motore dell’automobile durante il giro completo?
c) In quale posizione il motore ha fornito la potenza massima, e quanto vale questa potenza?

Allora... Non so fare nessun punto...
(a) l'unica cosa che so è $W_(nc)+W_c=\DeltaE_k <=> W_(nc)-\DeltaE_p=\DeltaE_k$ quindi ho

$-\int\muN\cdotds-mgh=1/2mv^2+1/2m(v_0)^2$

Ma $-\int\muN\cdotds$ non so calcolarlo perché $N$ mi varia lungo il percorso... se non ci fosse l'attrito sarebbe facile....

Per imporre che compia l'intero giro devo imporre $N=0$ quando l'auto si trova nel punto più alto quindi forse non devo considerare quel termine? Bha...

(b) Non ho ben capito la richiesta... Se $v$ è costante io direi che il lavoro è nullo ma non credo sia così... Ho pensato che per mantenere la velocità costa il motore deve "spingere" la macchina altrimenti la velocità non può restare costante ma come calcolo tale energia non so proprio da dove partire

(c)Non ci ho ancora riflettuto... facciamo una cosa per volta, prima i primi due punti

[anonymous_0b37e9]

Indicando con $\theta$ l'angolo formato dal raggio con la verticale ($\theta=0$ nel punto più in basso, $\theta=\pi$ nel punto più in alto), per quanto riguarda il lavoro della forza di attrito:

$[N(\theta)=mgcos\theta+mv^2/R gt= 0] rarr$

$rarr [|F_a|=\mu(mgcos\theta+mv^2/R)] rarr$

$rarr [L_a=-\int_{0}^{2\pi}\mu(mgcos\theta+mv^2/R)Rd\theta=-2\pi\mumv^2]$

[Freebulls]

Grazie mille!!

Quindi per il punto (a) procedo così

$ -\int\muN\cdotds-mgh=1/2mv^2+1/2m(v_0)^2$
$<=> -\int_{0}^{x}\mu(mgcos\theta+mv^2/R)Rd\theta-mgh=1/2mv^2+1/2m(v_0)^2 $
$<=> -\muR(mgsin(x)+mv^2/Rx)-mgh=1/2mv^2+1/2m(v_0)^2 $
$<=> v^2=(2\muRgsin(x)+2gh -(v_0)^2)/(1-2\mux) $

Quindi nel punto più alto (ossia per $x=\pi$) devo avere N=0
$N=mgcos(\pi)+m/R(2\muRgsin(\pi)+2gh -(v_0)^2)/(1-2\mu\pi)=0$
$<=> (v_0)=sqrt(gR(3+2\mu\pi))=43,782\text(m/s) $

è corretto?

Mentre il punto (b) devo solo sostituire i dati nel risultato da te postato

[anonymous_0b37e9]

A mio parere, poiché il testo parla di una velocità costante in modulo e della presenza di un motore, si tratta di imporre la sola condizione di assenza di distacco nel punto più in alto. Quindi, per quanto riguarda la velocità minima:

$[N(\theta)=mgcos\theta+mv^2/R] ^^ [N(\theta) gt= 0] ^^ [\theta=\pi] rarr [-mg+mv^2/R gt= 0] rarr [v gt= sqrt(gR)]$

la presenza di attrito non ha alcuna rilevanza. Ho l'impressione che tu stia supponendo che la velocità nel punto più in alto sia minore di quella nel punto più in basso per la presenza della forza peso e della forza di attrito, in assenza del motore. Tra l'altro, in questo caso non si può applicare il calcolo del lavoro del mio messaggio precedente, svolto supponendo che la velocità sia costante in modulo e non variabile.

[professorkappa]

Forse bisogna anche verificare a che velocita' minima (costante) deve viaggiare per non slittare (la velocita' che garantisce che l'attrito sia sufficiente a permettere alla macchina di avanzare).

[anonymous_0b37e9]

Forse bisogna anche verificare ...

Non hai tutti i torti. Non ci avevo pensato. Grazie per la più che doverosa integrazione.

P.S.
Considerando anche questo aspetto e l'automobile puntiforme, non potendo la velocità essere costante in modulo, il problema mi sembra impossibile:

$[\mu(mgcos\theta+mv^2/R) = mgsin\theta] rarr [v = sqrt((gR)/\mu(sin\theta-\mucos\theta))]$

[professorkappa]

Forse bisogna anche verificare ...

Non hai tutti i torti. Non ci avevo pensato. Grazie per la più che doverosa integrazione.

P.S.
Considerando anche questo aspetto e l'automobile puntiforme, non potendo la velocità essere costante in modulo, il problema mi sembra impossibile:

$[\mu(mgcos\theta+mv^2/R) = mgsin\theta] rarr [v = sqrt((gR)/\mu(sin\theta-\mucos\theta))]$

Ma la velocita', hai detto tu stesso e io concorderei con te, e' da assumersi costante in modulo per la presenza di un motore.
Non basterebbe studiare quest'ultima funzione che hai scritto?
Non so se sia troppo per il livello dell'esercizio richiesto...ma io ragionerei cosi:
La relazione che hai scritto sopra rappresenta la condizione limite: se $v^2 >=(gR)/\mu(sin\theta-\mucos\theta)$ allora la macchina arriva fino al culmine.
La funzione $(gR)/\mu(sin\theta-\mucos\theta)$ presenta un massimo a un certo $theta$, facilmente individuabile per derivazione. Trovato $theta$ e dunque il massimo, basta essere sicuri che v sia maggiore di questo massimo.
Se questo minimo di v soddisfa $N>0$ non solo la macchina arriva al culmine, ma non si stacca dalla pista.
Altrimenti bisogna aumentare v.
In parole povere, prendere il piu' dei 2 valori di v che soddisfano entrambe le condizioni di non-slittamento e non-distacco

E' troppo macchinoso per il livello di questo esercizio???

[anonymous_0b37e9]

Se non mi sto perdendo qualcosa, quella relazione dovrebbe valere esattamente per ogni valore di $\theta$:

$[\mu(mgcos\theta+mv^2/R) = mgsin\theta]$

altrimenti la velocità non può essere costante in modulo. In altre parole, affinché la velocità sia costante in modulo, in ogni istante la componente tangenziale della forza peso deve essere opposta alla forza di attrito. Per questo motivo il problema mi sembra impossibile.