Problema sui proiettili cinematica

[AnalisiZero]

Ciao,

Un cannone con una velocità iniziale di $1000 m/s$ viene usato per colpire un bersaglio sulla cima di una montagna. Il bersaglio è posto a $2000 m $ lungo l'orizzontale e a $800 m$ rispetto al suolo. A quale angolo, rispetto al suolo, deve sparare il cannone?

Ora, la mia idea all'inizio era di prendere l'equazione della parabola e intersecarla con il punto da colpire...
Però l'equazione della parabola per un proiettile è:
$y=tg(theta)x-(g/(2v_0^2cos^2(theta)))*x^2$
E anche sostituendo $x$ e $y$ mi resta la tangente e il coseno che non riesco ad isolare, quindi non riesco a risolverla così, giusto?

Allora ho dovuto ipotizzare che il bersaglio si trova nel punto più alto della traiettoria del proiettile, e ho trovato un angolo di $0,125°$.
Si poteva fare anche con il primo metodo?

[Fabbioo]

Io procederei così:
1) scomponi la velocità nelle due componenti x e y (in modo da avere i valori della due velocità in funzione dell'angolo di lancio);
2) eguaglia le leggi generiche del moto nel piano ai valori finali dati (cioè 2000m lungo x e 800m lungo y);
3) trova l'angolo semplicemente analizzando matematicamente le due equazioni.

[mgrau]

Se tieni conto che $cos^2 = 1/(1 + tg^2)$, la tua diventa una equazione di secondo grado in $tg(theta)$

BTW, mi pare che l'angolo di $0,125°$ sia un po' strano...

[AnalisiZero]

2) eguaglia le leggi generiche del moto nel piano ai valori finali dati (cioè 2000m lungo x e 800m lungo y);

Questo punto non l'ho capito.
Intendi eguagliare $x=v_0cos(theta)t$ e $y=v_0sen(theta)t-1/2g(t)^2$ ?
Ma non so quanto tempo ci mette il proiettile a colpire il bersaglio...

BTW, mi pare che l'angolo di $ 0,125° $ sia un po' strano...

Si, infatti $0,125$ era il seno , facendo l'arcoseno risulta $theta=7,18°$. Ora è più ragionevole?
Comunque ora provo il tuo metodo dall'equazione della parabola, perchè non si sa se quello è il punto più alto della traiettoria.

Grazie

[mgrau]

Si, infatti $0,125$ era il seno , facendo l'arcoseno risulta $theta=7,18°$. Ora è più ragionevole?

Fai conto che se il cannone fosse puntato direttamente sul bersaglio, a 2000m di distanza e 800m di altezza, l'angolo sarebbe artg(800/2000) che fa circa 21°... ti pare possibile che con un angolo minore si possa colpire il bersaglio?

[Fabbioo]

Intendi eguagliare x=v0cos(θ)t e y=v0sen(θ)t−12g(t)2 ?

Si

Ma non so quanto tempo ci mette il proiettile a colpire il bersaglio...

In realtà non ti serve sapere il tempo che ci impiega perchè lungo y vale la seguente formula, istante per istante:
$v(y) = v_(0y) - g*t$
Ricavando il tempo da questa formula e sostituendolo in $y(t) = v_(0y)*t-1/2*g*t^2$ trovi una espressione indipendente dal tempo.
A quel punto hai tutte le equazioni che servono

[AnalisiZero]

Si, infatti $0,125$ era il seno , facendo l'arcoseno risulta $theta=7,18°$. Ora è più ragionevole?

Fai conto che se il cannone fosse puntato direttamente sul bersaglio, a 2000m di distanza e 800m di altezza, l'angolo sarebbe artg(800/2000) che fa circa 21°... ti pare possibile che con un angolo minore si possa colpire il bersaglio?

Con questo hai dimostrato che quindi il punto in cui viene colpito il bersaglio non è il punto più alto della traiettoria?

[mgrau]

Non so... diciamo che risulta che c'è qualcosa che non va...
Del resto, se fai i conti con 1000m/s e un angolo di 7,18°, di certo la parabola non ha il vertice 2000m più avanti e 800m più su... risulta un tempo di salita di circa 13 secondi, nel quale tempo il proiettile percorre ben più di 2000m

[AnalisiZero]

@fabio
Ho ricavato il tempo e l'ho sostituito in quell'equazione.
Però resta $v_y$ che non conosciamo. Alla fine mi ritrovo con un'equazione, e come incognite $theta$ e $v_y$

@mgrau
Sto provando l'equazione in $tg(theta)$. Ma risolvendo trovo:

$tg(theta)=(2000+-1984)/(39,2)$
Non so in base a cosa scegliere + o -

[AnalisiZero]

Preciso che prendendo il meno viene fuori un angolo molto vicino a quello scritto da mgrau e usato come "criterio". L'altro angolo è circa $89°$. Anche se il primo angolo è vicino a quello di criterio, potrebbe essere valido?
Poi andando a sostituire i due angoli nell'equazione della parabola del primo post, trovo che solo il primo angolo, $22,3°$ circa, da come risultato $y=800m$. L'altro angolo da un valore completamente diverso (positivo). Come si spiega?