Differenza di potenziale tra asse e superficie esterna cilindro cavo

[AndreaTorre]

Salve a tutti,

Ho un problema che dice: una carica positiva è distribuita all'interno di un cilindro cavo di raggio interno $R_1$ e raggio esterno $R_2$. La distribuzione è caratterizzata da una densità di carica di volume $rho(r)=rho_0(R_1/r)$, con $r$ la distanza dall'asse e $R_1<r<R_2$. Si calcoli la d.d.p. tra l'asse del cilindro cavo e la sua superficie esterna.

Io ho svolto l'esercizio ed avrei bisogno solo di una conferma e (sperando che non ce ne sia bisogno) eventuali correzioni

Per $0<r<R_1$ sappiamo che $E=0=>V=0$

Sia $R_1<r<R_2$
Abbiamo che $Q=int_(R_1)^(R_2) rho_0(R_1/r)*pir^2Ldr=rho_0R_1piL*1/2*(R_2^2-R_1^2)$
$Phi_E=int_(R_1)^(R_2)E*2pirLdr=E*2piL*1/2*(R_2^2-R_1^2)=Q_(Int)/epsilon_0=rho_0/epsilon_0*R_1piL*1/2*(R_2^2-R_1^2)=>$
$=>E=(rho_0R_1piL*1/2*(R_2^2-R_1^2))/(piL(R_2^2-R_1^2)epsilon_0)=(rho_0R_1)/(2epsilon_0)$
Infine
$DeltaV=-E*(R_2-R_1)$

Qualche errore ci sarà di sicuro...cosa ne pensate?

[RenzoDF]

Già per $Q$, dimensionalmente, i conti non tornano.

[AndreaTorre]

Perdonami, potresti spiegarti meglio? Non ho capito l'errore

[anonymous_0b37e9]

RenzoDF intendeva farti notare che:

$Q/L=int_(R_1)^(R_2)\rho(r)2\pirdr$

Insomma, il tuo integrale, contenendo una lunghezza di troppo, non tornava neppure dimensionalmente.

@ RenzoDF
A proposito, che fine ha fatto il mitico Nikikinki?

[AndreaTorre]

Che distratto che sono...ti ringrazio Sergeant!

Già che ci sei..posso chiederti se, invece, il resto è corretto?
Ti ringrazio ancora

[anonymous_0b37e9]

Per trovare il campo elettrico:

$E(r)2\pir=(2\pi)/\epsilon_0int_(R_1)^(r)\rho(r)rdr$

[AndreaTorre]

Certo...ora ho capito.
Non ne ho azzeccata una..

[AndreaTorre]

Vorrei chiedere un'ultima cosa a proposito del problema.
E' giusta l'affermazione secondo la quale per $r<R_1$ abbiamo $E(r)=0=>V(r)=0$ ?
Avrei alcuni dubbi , venerdì ho l'esame e vorrei chiarirli al più presto :s

[RenzoDF]

Si, il campo internamente alla distribuzione è nullo, ma essendo il potenziale definito a meno di una costante, il potenziale sarà nullo solo se assumi nullo il potenziale di un generico punto dello spazio interno alla distribuzione; non risulterà invece nullo se (come si usa fare) consideri nullo il potenziale a distanza infinita dalla distribuzione.
In quest'ultimo caso il potenziale di un generico punto P interno (o esterno) alla distribuzione lo potrai determinare calcolando il lavoro che dovresti compiere (contro la forza del campo), per portare la carica unitaria da un punto all'infinito al punto P.

Ti faccio comunque notare che nel testo postato, non ti viene chiesto il potenziale, ma la differenza di potenziale $V_{AB}$, tra un punto $A$ sull'asse del cilindro e un punto $B$ sulla sua superficie esterna, di conseguenza, una volta determinato $E(r)$, ti basterà determinare l'integrale di linea del campo elettrico su un qualsiasi percorso che congiunga $A$ a $B$

$V_{AB}=V_A-V_B=\int_{A}^{B}\mathbf{E} \cdot \mathbf{\text{d}s}=\int_{R_1}^{R_2} E(r) \ \text{d}r $