c'è qualcosa che mi sfugge nell'esercizio di seguito.
Quattro masse puntiformi uguali $m$ sono incollate su un'asta di massa trascurabile, di lunghezza totale $L$, come in figura:
o-o-o-o
La distanza tra ogni coppia di masse consecutive è costante ($L/3$).
La massa più a sinistra è imperniata a un muro liscio (attrito nullo).
Nella posizione iniziale l'asta è orizzontale.
Calcolare: il momento di inerzia $I$ rispetto al perno (la prima massa), l'accelerazione angolare $\alpha$ nell'istante in cui l'asta abbandona la posizione orizzontale, la velocità angolare $\omega$ quando l'asta passa per la verticale.
Ecco cosa ho fatto:
> momento di inerzia:
$I = \sum m_i r_i^2 = m \sum r_i^2 = m L^2 (1/9 + 4/9 + 1) = 14/9 L^2m$
> accelerazione angolare nell'istante in cui l'asta inizia a ruotare:
$\vec{\tau} = \sum \vec{r_i} \times \vec{F_i} => \tau = mg \sum r_i = mgL (1/3 + 2/3 + 1) = 2mgL = I \alpha$
Da cui $\alpha = 9/7 g/L$
> velocità angolare:
qui ho qualche dubbio. Ho usato la conservazione dell'energia, ponendo a 0 l'energia potenziale gravitazionale della sfera più a destra quando l'asta passa per la verticale.
$E_i = 3 mgL = E_f = 0 + mgL 1/3 + mgL 2/3 + 1/2 I \omega^2$
Da qui ricavo che $\omega = \sqrt{18/7 g/L}$
Ho in pratica ottenuto che $\omega^2 = 2\alpha$.
E se usassi le equazioni (cardinali) del moto?
$\omega = \omega_0 + \alpha t$
$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + 1/2 \alpha t^2$
Nel mio caso considero: $\theta_0 = 0$, $\theta = \pi/2$, $\omega_0 = 0$. Da cui:
$\omega = \alpha t => t = \omega/\alpha$
$\pi/2 = 1/2 \alpha t^2 = 1/2 \alpha (\omega/\alpha)^2 = 1/2 \omega^2/\alpha$
Così ho dunque ottenuto invece la relazione $\omega^2 = \pi \alpha$ che differisce dall'altra.
Dove sbaglio?
Ho idea che le due $\alpha$ non siano concettualmente la stessa cosa.
Grazie mille!
