forza gravitazionale asticella piegata

[matteo_g]

Ciao, sono davanti a questo problema dell'halliday:

un'asticella di massa M=5kg è piegata a semicerchio di raggio R=0.65m. calcolare la forza gravitazionale (modulo ed orientamento) esercitata su una particella di massa m=3*10^(-3)kg posta in P, il centro di curvatura.

innanzitutto io non sono sicuro di aver capito bene cosa sia il centro di curvatura, io come centro ho preso il punto a meta del diametro della semicirconferenza. Detto ciò vi dico come ho pensato:
ho pensato di scrivere la forza infinitesima che un piccolo pezzo di asta fa sulla particella:
$ dF=(G*m*dM)/(R)^2 $ con dM indico la massa infinitesima di un pezzetto di semicirconferenza
$ dM=sigma*R*dalpha $ con sigma intendo la densità superficiale e con alpa un angolo fra due punti della circonferenza.
ho trovato la densità superficiale nel seguente modo:
$ sigma=M/(R*pi $
poi ho deciso di integrare dF fra O e pigreco.

Purtroppo non giugno al risultato corretto
Sapete dirmi dove è l'errore?

[mgrau]

L'errore sta nel fatto che i $dF$ sono vettori, che non hanno tutti la stessa direzione, cosicchè non puoi semplicemente sommarli. Per simmetria la forza avrà la direzione perpendicolare al diametro, così devi considerare solo la componente dei $dF$ che ha la direzione giusta, (quella parallela al diametro si annulla nell'integrale) e integrare questa.