Inerzia Cubo pieno d'acqua

[Frank98]

Si consideri un cubo pieno d'acqua di lato $l = 0.3 m$. Calcolare il momento d’inerzia per la rotazione
rispetto ad uno dei suoi spigoli.

So che devo calcolare prima l'inerzia per l'asse che passa per il centro di massa e poi aggiungere Steiner, ma c'è quel "pieno d'acqua" che mi inganna. Dovrei prendere la densità dell'acqua giusto? Di che cosa faccio l'integrale?

[Shackle]

Il cubo è omogeneo, la densità è quella dell'acqua : $rho= 1000 (kg)/m^3$ . Quando il corpo dato è omogeneo , conviene calcolare dapprima il momento di inerzia di volume, lasciando fuori la densità, e alla fine moltiplicare il risultato per $rho$ , onde ottenere il momento di inerzia di massa .

Nel caso del cubo , prendi una terna cartesiana con origine nel CM , e assi $(x,y,z)$ paralleli agli spigoli . Supponi di voler calcolare il momento di inerzia di volume rispetto all'asse $z$ ; il piano $(x,y)$ è perpendicolare a $z$ . Il volume elementare :

$dV = dxdydz$

ha distanza : $r^2 = x^2 +y^2$ dall'asse $z$ , e naturalmente distanza $z$ dal piano coordinato $(x,y)$ . La coordinata $z$ varia da $-l/2$ a $+l/2$ . Analoghi sono gli intervalli di variazione delle coordinate $x$ e $y$ .

Il momento di inerzia di volume rispetto all'asse $z$ è dato da :

$I = \int_Vr^2dV = \int_(-l/2) ^(+l/2) dz \int\int_A (x^2 +y^2) dxdy $

spero di aver scritto bene l'integrale triplo, è un bel po' che non scrivo queste formule! . In esso, il dominio di integrazione piano A è il quadrato nel piano $(x,y)$ , intersezione del piano con le 4 facce laterali del cubo parallele a $z$.

Ma non occorre impegolarsi nel calcolo di integrali . Dato un quadrato di lato $l$ , e tracciati due assi $(x,y)$ baricentrici paralleli ai lati , si ha :

$I_x =I_y = 1/(12)l^3*l = l^4/(12)$

Essendo il quadrato un dominio piano , il momento di inerzia polare rispetto al centro , che è uguale al momento di inerzia rispetto all'asse $z$ perpendicolare al quadrato nel centro , è dato da :

$I_z = I_x +I_y = 2*l^4/(12) = l^4/6 $

Se ora moltiplichiamo per l'altezza del cubo , ancora uguale a $l$ , otteniamo il momento di inerzia di volume del cubo rispetto all'asse $z$ :

$I_z = l^5/6$

per ottenere il m.i. di massa , basta ora moltiplicare per la densità $rho = M/V = M/l^3 $ :

$I_(massa) =1/6 M/l^3 * l^5 = 1/6Ml^2 $

e questa formula si trova in tutti i manuali; tieni presente che il cubo è particolare: il m.i. rispetto a qualunque asse , pure inclinato , passante per il baricentro, è costante, ed ha il valore detto. Ora non ti resta che applicare Steiner , come hai detto . Il risultato finale che dovresti avere è scritto qui, seconda formula :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[Frank98]

Posso vedere i passaggi per arrivare a $2/3ml^2$ ?
Grazie.

[Shackle]

Applica il teorema di Steiner . LA distanza tra lo spigolo e l'asse baricentrico parallelo vale : $ d = sqrt2/2l$ .

Quindi : $I_s = 1/6Ml^2 + Ml^2/2 = 2/3 Ml^2$