Salve, ho un altro problema di meccanica quantistica in cui ho un dubbio. Ho a che fare con una particella di massa $m$ che si muove in una regione unidimensionale con potenziale dato da \( V(x)=-\frac{\hbar^2}{m}\Omega\delta(x)\); devo trovare l'energia e la funzione d'onda della particella nell'unico stato legato. Partendo dall'equazione di Schroedinger, \[\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}+V(x)\psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}-\frac{\hbar^2}{m}\Omega\delta(x)=E\psi(x) \\ \Rightarrow \frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}+2\Omega\delta(x)\psi(x)+\lambda^2\psi(x)=0, \] avendo posto \(\lambda^2=-2mE/\hbar^2 \). Si tratta di un'equazione differenziale riscrivibile come \(\frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}=-(2\Omega+\lambda^2)\psi(x)\) la cui soluzione dovrebbe essere l'esponenziale \(\displaystyle \psi(x)=A\exp(x\sqrt{-\lambda^2-2\Omega\delta(x)})+B\exp(-x\sqrt{-\lambda^2-2\Omega\delta(x)}) \). Per \(\displaystyle x\ne 0 \) la soluzione si riduce a \(\displaystyle \psi(x)=A\exp(x\sqrt{-\lambda^2})+B\exp(-x\sqrt{-\lambda^2})=A\exp(x\lambda)+B\exp(-x\lambda) \).
Tuttavia il testo riporta la soluzione \(\displaystyle \psi(x)=A\exp(-\lambda|x|) \). Come ci si arriva?