Funzione d'onda in una base coniugata

[Landau]

Uno stato può sempre essere scritto in termini degli operatori di proiezione nella base degli autostati di un'osservabile, ad esempio nel caso specifico degli autostati dell'hamiltoniana si ha introducendo la risoluzione d'identità \(|\psi\rangle=\sum_n |\psi_{n}\rangle\langle\psi_{n}|\psi\rangle \). Quindi è vero che anche ogni funzione d'onda può essere scritta in termini degli autostati dell'hamiltoniana come \(\langle x|\psi\rangle=\sum_n |\psi_{n}\rangle\langle\psi_{n}|\langle x|\psi\rangle =\psi(x)=\sum_n \langle x|\psi_{n}\rangle\langle\psi_{n}|\psi\rangle \). Quindi dato che \(\displaystyle \langle x|\psi_{n}\rangle=\psi_{n}(x) \) e \(\langle\psi_{n}|\psi\rangle:=c_n \) si avrebbe \(\psi(x)=\sum_n c_n\psi_n(x) \). Fino qui ho sparato cavolate? La domanda principale che mi pongo è se è possibile trattare le proiezioni degli autostati nella posizione come delle funzioni d'onda a loro volta.

Comunque, devo capire se è possibile scrivere in modo equivalente \(\psi(x)=\sum_n c'_n \psi^*_n(x) \), cioè usando la base coniugata. In termini della funzione d'onda si avrebbe, così come \(c_n=\int dx \langle\psi_n|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int dx \psi^*_n\psi(x)\), \(c'_n=\int dx \langle\psi_n^*|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int dx \psi_n\psi(x)\). In teoria la condizione di ortonormalità è rispettata, dimostrando che se due funzioni sono ortogonali allora lo sono anche i loro complessi coniugati. Solo che non sono sicuro di come procedere su questo! Qualcuno mi dà una dritta?

Edit: mi sono accorto che almeno l'ortogonalità è garantita perché ovviamente \(\displaystyle \psi_1\psi_2=0 \) implica \(\displaystyle \psi^*_1\psi^*_2=0^*=0 \). Comunque ci sarebbe la completezza ancora da dimostrare...