moto rotazionale

[mic85rm]

Un’asta rigida di lunghezza a = 1 m e massa trascurabile ha un estremo imperniato in un punto P
che si trova a una quota pari ad a al di sopra del piano orizzontale. L’asta può ruotare su un piano
verticale, attorno a un asse orizzontale passante per il perno. Esattamente al centro dell’asta e
all’estremità opposta al perno sono fissati due punti materiali aventi uguale massa m= 20 g

Sul piano orizzontale, esattamente sotto il perno, è posto un punto materiale di massa M = 50 g

L’asta viene rilasciata da ferma e dalla posizione orizzontale, e ruotando sotto l’azione della forza peso e
della reazione del perno urta il corpo di massa M in modo totalmente anelastico.

Si calcoli la velocità angolare
dell’asta nell’istante in cui raggiunge la posizione verticale, subito
prima dell’urto.

il mio ragionamento è il seguente:
quando l'asta è in poszione orizzontale non ha energia cinetica ma solo potenziale. quindi $ E=U= ga$

prima dell'urto l'asta ha energia cinetica rotazionale $ 1/2 IW^2 $ da cui segue $ I=1/3 a^2 + 1/2*1/3ma^2+1/3ma^2 $

quindi $ ga=1/2 IW^2$ è corretto? verrebbe
$sqrt((12g)/(5a))$

le masse dei punti materiali le posso trascurare? il punto materiale di mezzo +$ 1/6$?

[professorkappa]

Mi sembra che tu sia andato a caso.
Quando l'asta e' orizzontale $U_0=m_1ga+m_2ga=(m_1+m_2)ga=2mga$ (il testo dice che $m_1=m_2=m)$

Quando e' verticale, $U_1=m_1ga/2=mga/2$

Il momento di inerzia e' $I=m_1(a/2)^2+m_2a^2=5/4*ma^2$

Quindi $U_1+1/2omega^2=U_0$ ovvero

$mga/2+1/2*5/4*ma^2omega^2=2mga$ da cui trovi $omega$

[Shackle]

Il momento di inerzia e' $I=m_1(a^2/2)+m_2a^2=5/4*ma^2$

Piccolo errore di scrittura : Il primo momento di inerzia è ; $m_1(a/2)^2 $ . Infatti il risultato è giusto : $1/4 +1 = 5/4$

[professorkappa]

Il momento di inerzia e' $I=m_1(a^2/2)+m_2a^2=5/4*ma^2$

Piccolo errore di scrittura : Il primo momento di inerzia è ; $m_1(a/2)^2 $ . Infatti il risultato è giusto : $1/4 +1 = 5/4$

GRazie, corretto nel post originale

[mic85rm]

altre domandine :

Si calcoli la velocità angolare del sistema costituito dall’asta e dal corpo di massa M subito dopo l’urto.
Si calcoli la variazione dell’energia cinetica totale del sistema considerato nell’urto.
Si calcoli l’altezza massima raggiunta dal corpo di massa M subito dopo l’urto, trascurando tutti gli attriti.


L’energia non `e conservata nell’urto visto che è anelastico.il sistema non è isolato dato che cè il perno e la forza peso.che ragionamento devo fare?

[Vulplasir]

Momento angolare

[professorkappa]

quindi la mia soluzione è totalmente inventata? (diciamo che ho preso spunto da un esercizio "simile" del libro e dal risultato che avevo)

quando è orizzontale hai usato la forza peso giusto? (mgh)

ma quando è verticale non capisco come l hai trovato?


altre domandine :

Si calcoli la velocità angolare del sistema costituito dall’asta e dal corpo di massa M subito dopo l’urto.
Si calcoli la variazione dell’energia cinetica totale del sistema considerato nell’urto.
Si calcoli l’altezza massima raggiunta dal corpo di massa Msubito dopo l’urto, trascurando tutti gli attriti.


L’energia non `e conservata nell’urto visto che è anelastico.il sistema non è isolato dato che cè il perno e la forza peso.che ragionamento devo fare?

L energia potenziale delle 2 masse quando sono orizzonatli, calcolata rispetto al piano e' ovviamente il loro peso per l'altezza (l'altezza e' $a$ per entrambe).
Quando l'asta e' verticale, la massa all'estremita ha energia potenziale nulla (e' a livello del piano di riferimento), quella a meta' asta sta a distanza a/2 e quindi $U=mga/2$. La tua soluzione e' dunque completamente sballata.

Le altre domandine si risolvono
- imponendo la conservazione del momento angolare rispetto al perno dell'asta.
- Calcolando la energia cinetica prima e dop l'urto
- Imponendo la conservazione dell'energia.

[mic85rm]

gazie professorkappa... effettivamente ho combinato un casino.

[mic85rm]

quindi $w_1= (I_z *w)/(I_z+Ma^2)$

Dove la soluzione è $w/(1+((4M)/(5m)))$


qualcuno me lo sa spiegare? io ho pensato che al denominatore venga $ 5/4ma^2+Ma^2$ dopodiche ha solo messo in evidenza $5/4ma^2(1+(4M)/(5m))$ cosi si semplifica con il numeratore....