coppia di forze e rotazione corpo rigido

[al3xg]

ciao ragazzi,
per far ruotare un corpo esteso attorno a un suo punto occorre una COPPIA di forze (uguali e contrarie).
A gravità "zero" ho visto esperimenti sulla stazione spaziale in cui un corpo rigido era messo
non solo in traslazione ma ANCHE in rotazione quando era sottoposto a una sola forza (una spinta della mano) la cui retta d'azione non passava per il suo centro di massa.
Dato che l'attrito dell'aria (per quell'esperimento) è trascurabile e dato che non c'erano altri attriti (il corpo
era sospeso in aria appunto) mi chiedevo quale fosse la forza che producesse, unitamente alla prima, la coppia
per far ruotare il corpo. Dipende dall'inerzia del corpo, dal suo c.m.? Perchè essa insorge?
Io mi sarei atteso di vedere traslare il corpo anzichè roto-traslare!
Oppure non serve una coppia per far ruotare il corpo ma basta una forza soltanto che fa momento col centro di massa (se ha
un braccio rispetto a questo)... in tal caso la domanda diviene: perchè fa momento?

Grazie!

[Shackle]

La rotazione del corpo rigido dà molti grattacapi agli studenti, e non solo.
Un corpo rigido libero non ruota intorno a un punto o ad un asse . Ruota e basta . Il campo di velocità dei punti di un corpo rigido in moto è dato da :

$vecv_P = vecv_Q + vec\omegatimes(P-Q) $

questa equazione "descrive" la velocità di un punto qualsiasi $P$ del corpo rispetto ad un altro suo punto $Q$. Il vettore $vecomega$ che vi compare dice semplicemente che c'è una terna di coordinate , collegate al corpo in moto, che ruota rispetto a una terna di coordinate fissa. Nè più nè meno . Ma il vettore $vec\omega$ non determina la posizione dell'asse di rotazione. Questo deve essere ben chiaro. Ti consiglio, prima di tutto, di dare un'occhiata a qualche vecchia discussione sull'argomento (ce ne sono a decine ) , per esempio queste due.


viewtopic.php?f=19&t=193742&p=8380902&hilit=rotazione+corpo+rigido#p8381023

viewtopic.php?f=19&t=189738&hilit=rotazione+corpo+rigido#p8358247

chiarito l'aspetto cinematico della rotazione , si passa all'aspetto dinamico. Allora , come primo assaggio di discussioni già fatte , ti do questo link :

viewtopic.php?f=19&t=186636&hilit=rotazione+corpo+rigido#p8341546

dove ti consiglio di soffermarti sull'esempio della barretta poggiata su un piano orizzontale liscio. Poi, se qualcosa non ti è chiaro , ne riparliamo.¹

LA cosa essenziale da capire, prima di tutto, è che il moto di un corpo rigido è retto dalle due equazioni cardinali della dinamica. Conosci queste equazioni ?

Del resto, supponiamo di avere un corpo rigido libero , nella ISS se ti aggrada. Applichiamo a questo corpo rigido una forza $vecF$ non passante per $G$ , ma con retta di azione distante $d$ da $G$ . Possiamo sempre applicare, in$G$ , due forze uguali e contrarie , parallele a $vecF$, che non alterano il moto del corpo.
Per cui, la forza applicata in $G$ , equiversa alla $vecF$ originale, determina l'accelerazione di $G$, come dice la prima equazione cardinale della dinamica. La forza originale $vecF$ , insieme con la forza applicata in $G$ discorde ad essa, costituisce una coppia , di momento $Fd$ , che causa la variazione del momento angolare del corpo , in base alla seconda equazione cardinale della dinamica

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Note

1. Considera attentamente le risposte di Vulplasir. Mi dispiace che sia stato bannato dal forum , aveva conoscenze e capacità non indifferenti. ↑

[al3xg]

si, ho chiaro che la dinamica di un corpo rigido può essere descritta, in via surrogatoria, dalla dinamica del c.m. (risultante forze esterne e traslazione del c.m., momento della massa totale del corpo posizionata nel c.m. rispetto a un punto d'osservazione di un sistema di rìferimento + momento dei p.ti del corpo rispetto al c.m. stesso).
Ho anche abbastanza chiaro come la descrizione cinematica di una rototraslazione coinvolga le derivate dei versori di un sist. di riferimento solidale al corpo (formule di Poisson) e come la rotazione sia esprimibile a mezzo della matrice di rotazione di questi assi mobili rispetto agli assi di un riferimento inerziale "fisso"... credo d'aver capito che si dimostra che i risultati ottenuti per la velocità del corpo siano indipendenti dal polo scelto per calcolare la velocità tangenziale alla rotazione (e questo perchè omega è uguale per ogni p.to del corpo e del sistema di rif. rotante).
Il mio dubbio credo attenga a una questione precedente e più "facile" e "fondamentale" ma che non ho chiara...
un oggetto ruota se ha vel. angolare, ma se prima non ne aveva allora qualche causa fisica deve avergliela fornita: il momento torcente (o momento della forza).
Ecco: questo momento della forza può essere dato anche da una singola forza e non sempre necessita di una coppia?
Sembrerebbe così dai dati degli esperimenti!
Io invece ho sempre creduto che si sottointendesse che per aversi momento occorressero sempre due forze uguali e contrarie, magari una impressa dall'esterno e una che insorgeva tramite una reazione vincolare (perno di rotazione).
Ma se così non è allora nella formula delle forze parallele (di modulo diverso o ricadiamo nel caso della coppia)
la risultante che è UNICA, non fa solo traslare il corpo ma lo fa ruotare pure, nel caso capiti che il suo punto d'applicazione sia eccentrico rispetto al c.m.!?

Grazie della reply ben articolata e che fornisce molti spunti che devo comunque approfondire!

ciao!

[Shackle]

Scusa, mentre scrivevi ho fatto una aggiunta che penso importante, che inizia con "Del resto supponiamo di avere ..." . Leggila , e forse troverai la risposta al tuo dubbio.

[al3xg]

Scusa, mentre scrivevi ho fatto una aggiunta che penso importante, che inizia con "Del resto supponiamo di avere ..." . Leggila , e forse troverai la risposta al tuo dubbio.

penso proprio fosse questo il punto che non mi era chiaro! Ecco allora perchè si dice che una qualsiasi configurazione di forze agenti su un corpo può sempre ricondursi a un sistema equivalente in cui si ha l'applicazione di una forza risultante e di una coppia (da cui le eq.ni cardinali della statica).

Grazie mille : )

[Shackle]

L'operazione che ti ho descritto si chiama, tecnicamente, "trasporto di una forza parallelamente a se stessa" . Puoi spostare una forza $vecF$ parallelamente a se stessa di una quantità $d$ , a patto di aggiungere una coppia di momento pari a $Fd$. Alla fine, hai un sistema costituito da forza+coppia, che è equivalente, per costruzione, al sistema dato costituito dalla sola forza.
A scanso di equivoci , chiarisco che questo trasporto non ha niente a che vedere col "trasporto parallelo" di vettori, che si considera in geometria differenziale.

[Quinzio]

Ecco: questo momento della forza può essere dato anche da una singola forza e non sempre necessita di una coppia?
Sembrerebbe così dai dati degli esperimenti!

Si certo.
E' chiaro che se applichi una coppia di forze il baricentro non e' soggetto ad alcuna forza.

[Shackle]

Ecco: questo momento della forza può essere dato anche da una singola forza e non sempre necessita di una coppia? Sembrerebbe così dai dati degli esperimenti!

Non ti è chiaro il concetto. Devi far sempre riferimento alle due equazioni cardinali della dinamica . La seconda dice che , assunto un polo fisso o coincidente col CM, o in moto parallelamente al CM, il momento risultante delle forze esterne agenti sul corpo rigido , calcolato rispetto al polo, è uguale alla variazione , nel tempo, del momento angolare del corpo rispetto a polo detto :

$vecM_e = (dvecL_e)/(dt) $

nè più , nè meno.

LE forze applicate possono essere una o cento , non ha importanza . Se accade che il risultante di tutte le forze esterne agenti sul corpo sia nullo, il CM del corpo non subirà accelerazione , in quanto l'accelerazione del CM è determinata appunto da tale risultante, che si suppone applicato in esso. SE accade che alla fine il sistema di forze applicate si possa considerare equivalente a due sole forze, parallele ma discordi e non allineate, la somma dei momenti di queste forze , rispetto sempre al famoso polo assunto, si vede essere data da :

$vecr_A times vecF + vecr_Btimes (-vecF) = vecr_A times vecF - vecr_Btimes vecF= (vecr_A -vecr_B) timesvecF = vecr_(BA)timesvecF $

dove A e B sono i punti origine delle due forze, e i raggi vettori sono presi dal polo, come detto. E quindi "sembra" che il polo scompaia . E in effetti ne puoi fare a meno , basta solo il vettore $vecr_(BA) $ per calcolare il momento di questo sistema. Chiaramente il risultante delle due forze è nulla, il momento del sistema non dipende dal polo scelto, e per la prima cardinale : $veca_(CM) = 0 $.