Momento d'attrito

[MrEngineer]

Salve ragazzi ho un dubbio sul seguente esercizio:
"Un disco di raggio $R = 0.25$ $m$ giace in un piano verticale e può ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro e ortogonale al disco stesso. sul bordo del disco è avvolto un filo che sostiene un corpo di massa $m = 15$ $kg$. Si applica all'asse del disco un momento costante $M = 40$ $Nm$ e si osserva che il corpo di massa $m$ sale con velocità costante. Calcolare:
$1)$ il modulo del momento di attrito costante agente sull'asse del disco."

[Svolgimento]
Ho scelto un sistema di coordinate tale che l'asse $x$ sia rivolto a destra, $y$ verso l'alto e $z$ uscente dal piano di scrittura. Scegliendo il $CM$ del disco come polo per il calcolo dei momenti, annulliamo qualche momento e riusciamo ad agevolare i calcoli. Il $CM$ è fisso pertanto la risultante delle forze agenti sul disco sarà nulla; inoltre deve valere la seguente:

\(\displaystyle \overrightarrow{M} = I_z \overrightarrow{\alpha} \). $[2]$


Studiando le forze sul corpo sospeso e proiettando lungo gli assi scelti si trova che $T = mg$. Inoltre, il testo dice che il corpo sale con velocità costante ovvero $a = 0$. Essendo $a = \alpha R$ ed essendo $a = 0$ allora $\alpha = 0$ pertanto la $[2]$ si riscrive nel modo seguente:

\(\displaystyle \overrightarrow{M} = 0\).

L'unica forza a non avere momento nullo rispetto al $CM$ è la tensione sul disco il cui momento vale $ -RT$. Avrei un dubbio ora: il momento $M$ fornito dal testo è applicato all'asse di rotazione e causa una rotazione in senso antiorario. Pertanto avremo:

$M - RT .....$

Manca il contributo dovuto all'attrito: il testo indica questo momento come $ - M_("att")$ ma il meno a cosa è dovuto? al fatto che l'attrito si oppone alla rotazione? E quindi, come nel caso di un punto materiale, avrà verso discorde rispetto al versore dell'asse di rotazione??
Inoltre una cosa che ben non capisco è anche il contributo di $M$: perdonate ciò che sto per dire ma se il momento motore $M$ è applicato all'asse del disco, rispetto al $CM$ questo momento non dovrebbe essere considerato nullo?

[mgrau]

Non la fai un po' complicata?... non c'è accelerazione, quindi il momento totale è zero, c'è il momento motore, noto, c'è il momento resistente, peso per raggio, noto... la differenza sarà l'attrito, no?

[MrEngineer]

mi serve più che altro sapere se il segno negativo sia dovuto al fatto che l'attrito si oppone al moto. Lo dico perchè in diversi altri esercizi questo momento viene calcolato con un segno negativo che non risulta dal normale svolgimento dei calcoli. Ne ho uno per le mani proprio adesso e magari ora lo posto

[MrEngineer]

Eccolo. Sotto spoiler l'immagine.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

"Un’asta rigida di massa $m_1$ = $20$ $kg$ e lunghezza $d=0.8$ $m$ è incernierata nell'estremo $A$ ed è appesa nell'estremo $B$ ad un filo collegato alla massa $m_2$ = $10$ $kg$; il sistema è in equilibrio con l’asta orizzontale.
Si interrompe il collegamento in $B$ e l’asta ruota sotto l’azione della forza di gravità; nel vincolo $A$ agisce un momento che si oppone alla rotazione, $M =kθ u_z$, con $k=50 (Nm)/(rad)$ e $θ$ angolo che l’asta forma con l’asse $x$.

Calcolare la velocità angolare dell’asta quando $θ =π/2$.

Dalla relazione che lega lavoro e momento si ricava il lavoro compiuto dalla forza d'attrito:
$W = int_(0)^(\theta) M *d\theta = k * int_(0)^(\theta) \theta* d\theta = -k * \pi^2 / 8$. Anche in questo caso, quel meno a cosa è dovuto? al fatto che stiamo parlando di un momento d'attrito? Applicando conservazione dell'energia meccanica si trova quanto cercato essendo

$W = \Delta E_m$.

N.B. : non si potrebbe ricavare $\omega$ anche tramite teorema sull'energia cinetica imponendo velocità angolare iniziale nulla? Però così facendo verrebbe una radice quadrata negativa ovvero impossibile nel campo reale dato che il lavoro calcolato tramite momento risulta negativo

[mgrau]

Non capisco mica tanto dei tuoi conti. Magari dai per scontate delle cose, che però non si vedono. L'energia potenziale e cinetica dell'asta dove sono? Il fatto che parli di una radice quadrata negativa fa pensare che secondo te l'energia cinetica dell'asta deriva solo dal lavoro dell'attrito...

[MrEngineer]

Avevo inizialmente pensato di applicare

$W = E_(kf) - E_(ki) = E_(kf)$ dove $W$ è il lavoro calcolato in precedenza. In questo caso però si giunge ad un risultato impossibile da risolvere nel campo reale.

[professorkappa]

Eh, si. Se non metti il lavoro di TUTTE le forze esterne a sinistra dell'equazione, ma solo quello negativo della momento d'attrito, decisamente ti viene fuori un assurdo....

[MrEngineer]

D'oh è vero. Il lavoro $W$ è riferito alla risultante di tutte le forze. Chiedo venia