Re: Geometria delle masse

Messaggioda Zyzzoy » 19/05/2019, 15:42

ah giusto! Mi ero perso il punto in cui chiedeva di calcolarla rispetto a un origine in O. Adesso dovrei riuscire a svolgerlo, mo ci provo.
-$I_G$ è il momento d inerzia baricentrico
-$m$ la massa del sistema
-$r$ la distanza tra i 2 assi paralleli
-$sigma_(ij)$ e$ x_i x_j$ non riesco a capire cosa siano. Più precisamente i,j non so cosa siano, intendi i versori degli assi? Se è cosi ho capito, noi li chiamiamo con i numeri.
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Re: Geometria delle masse

Messaggioda Nikikinki » 19/05/2019, 16:25

Sono indici generici che rappresentano le componenti del vettore, o della matrice. La $\delta_(ij)$ è la delta di kroneker che vale 1 se gli indici sono uguali o 0 altrimenti. Quindi, ad esempio,

$(I_O)_(11)=(I_G)_(11)+m((x^2+y^2+z^2)*1-x^2)=(I_G)_(11)+m(y^2+z^2)$

$(I_O)_(12)=(I_G)_(12)+m((x^2+y^2+z^2)*0-xy)=(I_G)_(12)-mxy$

etc.
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Re: Geometria delle masse

Messaggioda Zyzzoy » 19/05/2019, 17:13

Quella simbologia mi è difficoltosa, io ho :

$ I_(11)=I_(11)'+I_(11)'' $
$ I_(22)=I_(22)'+I_(22)'' $

$ I_(11)'=m*(2b)^2/12+m*b^2 $
$ I_(11)''=0+0=0$

allora $ I_(11)=4/3*m*b^2$

poi $I_(22)'=m*a^2/3+m*a^2$
$ I_(22)''=0+m*4a^2$

quindi $I_(22)=16/3*m*a^2$

$I_(33)=I_(22)+I_(11) $

e fin quà ci siamo.

nei deviatori $Io_(12)=Ig_(12)-mxy $ non so come applicarla , come asse G cosa uso? x e y cosa rappresentano?
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Re: Geometria delle masse

Messaggioda Zyzzoy » 19/05/2019, 17:36

se xi e xj son le coordinate dell asse baricentrico rispetto all asse in O in $ I_(11); I_(22); I_(33) $ vale 0, mentre in $I_(12)=I_(21)$ vale $a*b$ ,in $I_(23)=I_(32)$ vale 0 (piano) , in $I_(13)=I_(31)$ vale 0 (piano)
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Re: Geometria delle masse

Messaggioda Nikikinki » 19/05/2019, 19:12

Scusa proprio non riesco a seguire tutti questi passaggi che vuoi fare, è un calcolo che si fa in un rigo solo. Comunque mi pare che i termini diagonali li hai trovati e allo stesso modo trova quelli fuori diagonali se hai da scrivere $xy$ prendi la componente x del vettore e la moltiplichi per la componente y cosa c'è di strano? Quindi l'unico termine non nullo sarà giustamente $-m(2a)(b)$ che è il termine misto xy.
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Re: Geometria delle masse

Messaggioda Zyzzoy » 19/05/2019, 19:46

il termine $Ig_(12)$ viene nullo? nemmeno sul libro degli esercizi ho trovato il calcolo del momento d inerzia baricentrico con i e j diversi . Quindi $-m(2a)(b)$ perchè il baricentro di AB è $(2a,b,0)$ ? La componente di quale vettore? Io per Steiner ho usato il disegno per risolverlo nel trovare la distanza tra i 2 assi paralleli , per esempio in $I_(11)'$ la distanza è b da disegno, non avrei saputo applicare la $(y^2+z^2)$ dato che non ne ho capito il significato
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Re: Geometria delle masse

Messaggioda Nikikinki » 20/05/2019, 08:17

Zyzzoy ha scritto:il termine $Ig_(12)$ viene nullo?


Certo che viene nullo, quella matrice è diagonale.

Zyzzoy ha scritto:Quindi $-m(2a)(b)$ perchè il baricentro di AB è $(2a,b,0)$ ? La componente di quale vettore? Io per Steiner ho usato il disegno per risolverlo nel trovare la distanza tra i 2 assi paralleli , per esempio in $I_(11)'$ la distanza è b da disegno, non avrei saputo applicare la $(y^2+z^2)$ dato che non ne ho capito il significato


Come di quale vettore? Di quello che hai scritto tu stesso e che ti avevo scritto io il vettore che ha componente $x=2a,y=b,z=0$ basta sostituire. Comunque faccio il calcolo come si dovrebbe fare. La matrice di un segmento rispetto ad un estremo si trova al volo ma diciamo pure di non conoscerla, faccio tutti i passaggi. Noi conosciamo le matrici di inerzia di un'asta rispetto al proprio baricentro. Chiamo l'asta OA "asta A" e l'asta AB "asta B". Abbiano le aste lunghezza generica $L$ e massa m.

$(I_A)_G=mL^2/12((0,0,0),(0,1,0),(0,0,1))=m(2a)^2/12((0,0,0),(0,1,0),(0,0,1))=ma^2/3((0,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$

$(I_B)_G=mL^2/12((1,0,0),(0,0,0),(0,0,1))=mb^2/3((1,0,0),(0,0,0),(0,0,1))$

I vettori che determinano la distanza tra $O$ ed i baricentri sono $v_A=(a,0,0)$ e $v_B=(2a,b,0)$

Chiamo $I_A^S$ la matrice dei termini di Steiner relativi all'asta A (e idem per B) . I termini si calcolano come ti ho già scritto, basta usare le giuste componenti dei due vettori.

$I_A^S=m((0,0,0),(0,a^2,0),(0,0,a^2))$ e $I_B^S=m((b^2,-2ab,0),(-2ab,4a^2,0),(0,0,4a^2+b^2))$

Ed ora, semplicemente, sommiamo tutto.

$I_O=[(I_A)_G+I_A^S]+[(I_B)_G+I_B^S]=m((4/3b^2,-2ab,0),(-2ab,16/3a^2,0),(0,0,4/3(4a^2+b^2)))$ .

Se avessimo usato direttamente la matrice d'inerzia di un'asta rispetto ad un estremo ci saremmo risparmiati qualcosina. Ripeto, questo conto lo fai in un rigo, scrivendo la somma delle matrici e mettendo le giuste componenti. Però deve esseri chiaro il significato del teorema che vai ad applicare.
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Re: Geometria delle masse

Messaggioda Zyzzoy » 20/05/2019, 20:56

Grande! Grazie mille ora ho capito come fare! questo metodo delle matrici è facile, sul mio libro degli esercizi non c'era. Ho capito cosa sono x,y,z e tutto. Ora provo a fare anche gli altri esercizi con sto metodo, grazie
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