Ah, finalmente un sospiro di sollievo... bene, a questo punto penso di esserci. Adesso, per spregio, scrivo qui sotto la risoluzione di un esercizio diverso (ma simile). Dopo tutto il tempo che ti ho fatto passare su questo argomento non oso chiedere commenti ulteriori, se le cose tornano non perdere tempo a rispondere, ma se eventualmente ti capitasse di notare una tragedia magari lanciami un oggetto contundente con un tiro ad effetto.
Inoltre, metti mai che in futuro qualcuno vada a riesumare questo post, un esempio in più al termine delle spiegazioni farà comodo.
"Si consideri una particella con spin 1 e momento angolare orbitale nullo in un campo centrale. Se si considerano le sole variabili di spin, il sistema è rappresentato da un vettore di stato di dimensioni finite e gli operatori da matrici di dimensioni finite."
a) fornire una rappresentazione matriciale di $S^2$ e $S_z$$S^2=s(s+1)barh^2=2barh^2$
$S_z=m_sbarh={barh,0,-barh}$
$S^2=2barh^2( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )$
$S_z=barh( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) )$
b) fornire una rappresentazione dei vettori associati agli autostati di $S_z$ e del vettore che rappresenta lo stato più generico espresso su tale base Dicevamo che gli autovettori sono canonici, dunque ${chi_1,chi_2,chi_3}={( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) ; ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) ; ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) }$
NB. si trovano risolvendo $S_zchi_s=+-barhchi_s$ e $S_zchi_s=0$
Il vettore generico sarà dunque della forma
$chi=( ( a ),( b ) , (c) ), |a|^2+|b|^2+|c|^2=1$
c) per lo stato generico, dire quali sono i possibili risultati della misura di $S^2$ e $S_z$, e qual è la probabilità di ottenere ciascuno dei valori? Cosa si otterrebbe se si misurasse la componente x dello spin?
I risultati possibili delle misure sono gli autovalori scritti in a). Le rispettive probabilità e autovettori associati saranno:
$S^2: P(2barh^2) = |A|^2+|B|^2+|C|^2=1$ (cumulativa), associato a tutti e tre gli autovettori
$S_z: P(barh)=|A|^2 -> ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) ; P(0)=|B|^2 -> ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) ; P(-barh)=|C|^2 ->( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )$
Riguardo la misura della componente x, avendo la z devo accontentarmi (oppure sottolineare che se avessi scelto x anziché z come asse iniziale, le misure avrebbero confermato gli stessi autovalori), ma facciam finta invece di volere le espressioni matriciali di $S_x$ e $S_y$. Ricordando le espressioni dell'elemento di matrice ab:
$(S_x)_(ab)=barh/2(delta_(a,b+1)+delta_(a+1,b))sqrt((s+1)(a+b-1)-ab)$
$(S_y)_(ab)=ibarh/2(delta_(a,b+1)-delta_(a+1,b))sqrt((s+1)(a+b-1)-ab)$
ottengo:
$S_x=barh/2sqrt2( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $ e la sua hermitiana coniugata
$S_y=barh/2sqrt2( ( 0 , -i , 0 ),( i , 0 , -i ),( 0 , i , 0 ) ) $
d) scrivere lo stato combinazione lineare paritaria degli autostati di Sz e trovare il valore di aspettazione di Sz su questo statoLa condizione di paritarietà è: $|A|^2=|B|^2=|C|^2->A=B=C=1/sqrt3$ poché appunto $|A|^2+|B|^2+|C|^2=1$
Gli autostati di $S_z$ sono i tre vettori canonici di cui sopra, quindi lo stato combinazione lineare sarà
$chi'=1/sqrt3 ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )+1/sqrt3( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+1/sqrt3( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ) )$
Per il valore atteso semplicemente $<S_z> =<chi'|S_z|chi> = ( 1/sqrt3 \ \ 1/sqrt3 \ \ 1/sqrt3 ) barh( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) )( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ) )=0 $
(oppure detti $lambda$ gli autovalori potevo scrivere $<S_z> =sum_(i=1)^3lambda_iP(lambda_i)$ visto che siamo in ambito discreto). Da ciò, volendo, posso anche trovarmi l'incertezza sulla misurazione con
$sigma=sqrt(<S_z^2> - <S_z>^2)$
Bene, questo è quanto... spero di non aver fatto errori banali. Ancora grazie infinite per tutte le spiegazioni e i chiarimenti, non oso immaginare quanto ci avrei messo per conto mio. Avanti col prossimo esame!