Dubbio momento di inerzia

[Palliit]

Buongiorno a tutti, oggi volevo proporvi un esercizio abbastanza banale di per sé ma che vorrei analizzare meglio per comprendere a fondo la teoria alla sua base.

Un'asta, lunga d e di massa m è incernierata all'estremo A ad un asse fisso verticale, attorno al quale ruota con velocità angolare $ omega $ costante formando un angolo costante $ theta $ . Calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse, il modulo del momento angolare L(A), il valore dell'angolo $ theta $ , la reazione vincolare in A.

Ora, avrei principalmente bisogno di aiuto nel primo punto. Avevo pensato di applicare il teorema di Huygens-Steiner, e avendo noto il valore del momento di inerzia di una sbarretta per un asse passante per il CM avrei



$ I=1/12 md^2 + m(d/2 sin theta)^2 $

ma il risultato del libro è

$ I=1/3 md^2 (sintheta)^2 $

Non capisco il motivo...

[Shackle]

Abbiamo parlato del pendolo conico qui , proprio da poco, con un tuo esimio ( ) collega . Riferisciti alla figura sotto lo spoiler che trovi nella mia risposta.

L'asse dell'asta è assunto come asse $x$ , orientato dal vincolo $A$ verso l'estremo libero. Un tratto elementare di lunghezza $dx$ e massa $dm = M/L dx$ , ha momento di inerzia, rispetto all'asse verticale di rotazione , dato da :

$dI = dm(xsen\theta)^2 = M/L sen^2theta x^2dx $

quindi : $ I = \int_0^L dI = M/Lsen^2theta [x^3/3]_0^L = 1/3M(Lsentheta)^2 $

Per altre informazioni, leggiti quel messaggio . Manca il momento angolare, ma mi aspetto che il tuo esimio collega ( ) dica qualcosa, diamine ! anziché prendere sempre caffè

[caffeinaplus]

Dato che voglio dimettermi dal mio posto di "complicatore"( ) nel post che ti ha già linkato Shackle trovi praticamente tutto.
Per il momento angolare io mi limiterei a sostituire il $sin^2(theta)$ con $(1-cos^2(theta))$ nell'espressione di $Iw$ e poi farmi i conti

[Shackle]

Il momento angolare rispetto a un polo è un vettore libero. Il testo chiede il modulo del momento angolare rispetto al polo A . Abbiamo il componente del momento angolare rispetto all'asse $z$ verticale , il cui modulo è dato semplicemente da :

$L_z = I_z omega$

ma non basta, ci sono altri due componenti rispetto a due assi posti nel piano orizzontale, ovvero si può considerare un unico componente nel piano orizzontale, risultante vettoriale dei due. Infatti, teniamo presente che l'asse $z$ di cui sopra non è asse principale di inerzia per il suo estremo $A$ , lo sarebbe se fosse $theta = 90º $ . Quindi $vecL$ non è parallelo a $omega$, anzi ruota pure lui , con la stessa velocità angolare dell'asta. Vuol dire che $vecL$ si può scomporre in $vecL_z$ verticale e $vecL_o$ orizzontale. Il modulo del componente orizzontale, che ruota, è pure costante.

Bisogna sempre rifarsi alla definizione : $vecL = vecr\times\vecp$ , applicarla alla massa elementare $dm $ , rispetto ai vari assi, e poi procedere per integrazione.

[Amelia]

Grazie mille, ora è decisamente più chiaro