Esercizio sullo scattering

Messaggioda SalvatCpo » 07/10/2019, 19:07

Nel corso di fisica moderna (meccanica classica analitica con accenni di relatività speciale e meccanica quantistica) si inserisce stranamente l'argomento dello scattering, forse come precursore dell'effetto compton.
Tale argomento è trattato anche nel seguente libro che ho trovato e scelto casualmente e che è diventato il mio riferimento: https://www.physics.rutgers.edu/~shapiro/507/book.pdf (pagine 78, 79, 80, 81).
Anche i seguenti link wikipedia sembrano trattare lo stesso argomento:
https://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_d%27urto
https://it.wikipedia.org/wiki/Scattering_Rutherford

Sinceramente ne sto capendo poco a riguardo. Per esempio, come si risolve il seguente esercizio (tratto da un appello del mio cdl)?

Un fascio di meteoriti (30 al minuto per metro quadro) di 5kg ciascuno a velocità 100 km/s colpisce elasticamente la superficie di un pianeta privo di atmosfera e avente massa e raggio terrestri. Quanti meteoriti vengono deviati di 20° ogni ora?

Innanzitutto in tutti gli esercizi di questo tipo non capisco se i 20° sono un angolo esatto rispetto al piano equatoriale oppure s'intende ENTRO un angolo solido di 20° (rispetto al punto di impatto?).
Poi non capisco come si possa fare a meno della conoscenza della zona d'impatto (equatoriale, poli oppure tutta la superficie frontale possibile?) e dell'angolo di incidenza rispetto allo zero (piani paralleli all'equatore).

Grazie in anticipo
SalvatCpo
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda mgrau » 07/10/2019, 19:31

SalvatCpo ha scritto: Per esempio, come si risolve il seguente esercizio (tratto da un appello del mio cdl)? La mia intuizione mi farebbe dire che tutte le particelle vengono respinte con angolo nullo.

Un fascio di meteoriti (30 al minuto per metro quadro) di 5kg ciascuno a velocità 100 km/s colpisce elasticamente la superficie di un pianeta privo di atmosfera e avente massa e raggio terrestri. Quanti meteoriti vengono deviati di 20° ogni ora?
Innanzitutto in tutti gli esercizi di questo tipo non capisco se i 20° sono un angolo esatto rispetto al piano equatoriale oppure s'intende ENTRO un angolo solido di 20°.

Se il testo è esattamente quello, da quel che capisco si dovrebbe trattare di un fascio di particelle con velocità parallele fra loro che colpiscono una sfera. Se l'urto è elastico, se la superficie è liscia , allora le particelle deviate di 20° (non mi pare che c'entri niente il piano equatoriale: sono 20° rispetto alla direzione iniziale) sono quelle che incidono con un angolo di 10° rispetto all'orizzontale; e sono quelle che incidono sul "parallelo" 10 (considerando come "equatore" il cerchio massimo perpendicolare alla velocità di ingresso. Il guaio è che un parallelo ha area nulla, quindi la risposta sarebbe zero, a meno di avere una certa tolleranza sull'angolo.
Quanto a massa e velocità dei meteoriti, e massa e raggio del pianeta, direi che non ce ne facciamo niente.
Invece non capisco perchè secondo te non ci sarebbe mai deviazione... o forse, dicendo "angolo nullo", intendi che rimbalzano indietro? Ovvero, deviazione di 180°?
mgrau
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda SalvatCpo » 07/10/2019, 21:24

Si, intendo che la mia intuizione mi porterebbe a dire che ogni proiettile torna perfettamente indietro. Evidentemente non è così altrimenti il discorso non ha senso.
Sono d'accordo su quello che dici sull'area nulla e sul conseguente risultato 0, ho capito bene.
Allora forse bisogna pensare a quei 20° come angolo solido centrato nel punto di impatto, ma ci dovrebbe essere il simbolo dello steradiante e non del grado. Comunque è da prendere in considerazione.
Oppure potremmo pensare all'area fra i paralleli -10 e +10, che è un'altra sensata idea.
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda Nikikinki » 08/10/2019, 06:35

Il ragionamento dovrebbe essere il seguente.

Il rate del processo di urto, che ha senso calcolare perché il flusso incidente è stazionario, è dato da $R=j \sigma$ dove $j$ è il flusso e $\sigma$ la sezione d'urto. Le dimensioni date dei meteoriti e terra ci dicono che possiamo considerarli puntiformi rispetto al bersaglio e che il bersaglio resta fermo, mentre la velocità ci dice che la sezione d'urto può essere calcolata in approssimazione classica, non relativistica.

Calcolare la sezione d'urto differenziale per una sfera rigida in queste ipotesi è facile. Non ho guardato il testo linkato ma se ha un minimo di valore sicuramente è riportato il conto. Se non lo trovi lo facciamo.

Comunque troveresti che $(d\sigma)/(d\Omega)=r^2/4$ dove r è il raggio del bersaglio, in questo caso il pianeta.

Se espliciti l'angolo solido $d\Omega=sin\theta d\theta d\phi$ ed integri in $\phi$ sull'angolo giro per prendere tutta la circonferenza di diffusione, ottieni la distribuzione angolare in $\theta$

$(d\sigma)/(d\theta)=\pi/2r^2sin\theta$ e lo valuti ovviamente in $\theta=20°$.

Il rate sarà quindi $R=(d\sigma)/(d\theta) j$ . Devi solo fare attenzione alle dimensioni ed al fatto che ti chiede il rate orario mentre il flusso ce l'hai su mezz'ora.

PS la tua intuizione sulla riflessione totale sarebbe giusta se invece di una sfera avessi un piano ed incidenza ortogonale, per ovvi motivi.
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda SalvatCpo » 08/10/2019, 17:29

Ok, ho risolto secondo le tue indicazioni @Nikikinki ed ottengo R=10^13 Hz, prevedibilmente enorme essendo enorme la quantità di meteoriti incidenti per metro quadro nel tempo.

Quindi questa è la quantità di particelle nel tempo deviate di 20° rispetto alla retta incidente.
Ma questi 20° possono essere orientati lungo qualsiasi arco, in DUE direzioni spaziali, giusto?
Cioè quei 20° indicano l'ampiezza di un "cono di riflessione"?

Riguardo la mia riflessione, io nella mia mente penso ai meteoriti incidenti e "intuisco", sbagliando, che se sono perpendicolari al terreno (ed effettivamente non è detto che lo siano), allora rimbalzano perfettamente indietro, e questo vale anche per una sfera (una sfera molto grande è simile a un piano se vista da vicino).
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda Nikikinki » 08/10/2019, 18:00

Sembra parecchio (ma se non ti è scappato il dito sulla calcolatrice quello è), più che altro però vuole il numero di diffusioni in un'ora quindi messo in Hz non va bene (tra l'altro avevo letto male il flusso, pensavo 30 ogni 30 minuti...forse era mattina troppo presto :D )

Diciamo che più che cono direi una superficie laterale di un tronco di cono.

Non ho capito cosa intendi per qualsiasi arco in due direzioni spaziali. C'è ovviamente una simmetria rotazionale (tronco di cono appunto).
Nikikinki
 

Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda mgrau » 08/10/2019, 18:10

Mi spiegheresti, tu e anche @Nikikinky magari, che cosa rappresenta il numero trovato (giusto o sbagliato che sia)?
La situazione io me la immagino così


Immagine

dove appunto le particelle che interessano sono quelle che formano la superficie laterale del cono uscente a destra, che sono anche quelle che incidono sul parallelo 10, che si vede di taglio, tratteggiato.

In particolare, nella vostra soluzione, vorrei capire se quelle sono le particelle diffuse esattamente di 20°, e come fanno a non essere zero

Quanto poi al numero, direi che: la superficie totale di impatto (chiamiamola pure "sezione d'urto", se piace di più) sono circa $1,28 * 10^14 m^2$, e su ogni metro quadro cade un meteorite ogni 2 secondi, quindi in un'ora 1800. e il totale $2,3*10^17$ all'ora. Come si arriva da qui a $10^13$ ?
Ultima modifica di mgrau il 08/10/2019, 18:29, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda Nikikinki » 08/10/2019, 18:21

Il disegno è giusto sì. Come possono essere zero, se le hai disegnate? Il rate del processo di urto è proprio il numero di urti nell'unità di tempo. Se uso la sezione d'urto differenziale per un certo angolo sto prendendo i proiettili che rimbalzano a quell'angolo. Se integro ad esempio in theta tra 0 e 20 prendo tutti quelli che vengono diffusi fino a 20 gradi. Se integro su tutto l'angolo solido considero quelli diffusi a qualsiasi angolo.

Edit: per il numero non so se sia corretto, se ti va di controllare tu il valore numerico mi fai un favore. Io al momento sono in treno.
Nikikinki
 

Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda SalvatCpo » 08/10/2019, 19:08

Nikikinki hai capito quello che volevo dire: mi sono espresso maluccio, ma io immaginavo proprio la superficie laterale di un tronco di cono, che avevo chiamato "cono di riflessione", che, visto dall'alto, è una circonferenza.

Per il calcolo:
$ R=j*pi/2*R_"Terra"^2*sen20°=10^13 Hz $
quindi in un'ora
$ N=R*3600=4*10^16 $

Sulla stranezza del discorso concordo con Mgrau.
Quando per esempio lancio una pietra in una pozzanghera, la probabilità che cada esattamente a distanza R dal centro è nulla, perchè quella circonferenza di raggio R ha area nulla (è una linea, non una superficie!). Non è nulla invece la probabilità che cada dentro il cerchio di raggio R centrato nel centro della pozzanghera.
Cmq sicuramente Nikikinki ha ragione, infatti i libri dicono quello che dice lui.
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda Nikikinki » 08/10/2019, 19:32

La "stranezza" è solo una trappola mentale nel passaggio da discreto a continuo. Anzi proprio il ragionamento che hai fatto ora ne è un classico esempio. C'è differenza tra un insieme vuoto ed un insieme a misura nulla. Ad esempio, l'area sottesa ad un segmento verticale è zero. Ma l'insieme non è vuoto, il segmento esiste. Quando fai una integrazione stai "sommando" tanti contributi infinitesimi di area nulla...ma l'area totale esiste eccome ed è un numero, quello che viene fuori dall'integrale (e può essere pure infinito).

D'altronde nel nostro esercizio se il ragionamento fatto (che il rate è zero) fosse corretto sarebbe vero anche per qualsiasi altro angolo "esatto" . Ne trarremmo la conclusione assurda che non c'è nessun proiettile diffuso pur essendo la superficie bersagliata da essi.
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