E' possibile che un corpo inizialmente fermo e soggetto a forza nulla inizi comunque a muoversi?
La fisica classica direbbe di no.
Tuttavia a volte la matematica va per la sua strada in apparente disaccordo con la fisica.
Per dimostrare ciò ho ideato il seguente esperimento.
Un corpo avente massa unitaria e immerso in un campo di accelerazione di gravità uniforme è vincolato a scivolare lungo una guida liscia avente forma $y=x^k$, come in figura.
Esistono valori di k per cui ciò che ho appena descritto accade.
Per confronto ho sviluppato anche il caso "normale" di $k=2$, che appare coerente con le leggi fisiche, e poi il caso $k=3/2$, che sembra invece violarle. Ogni considerazione è bene accetta.
(Nota1: per aggirare alcune difficoltà di integrazione del caso più generale, ho approssimato la funzione integranda con la formula di Taylor. Questo non invalida le conclusioni perché la parte interessante dell'esperimento riguarda proprio ciò che accade in prossimità dell'origine degli assi)
Nota2: è anche possibile che io abbia commesso qualche errore di calcolo o di interpretazione dei risultati, in tal caso chi riuscirà a segnalarmelo sarà un benemerito
\[\begin{align}
& \text{Data una curva:} \\
& y={{x}^{k}} \\
& {y}'=k{{x}^{k-1}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1<k\quad {y}'\left( 0 \right)=0 \right] \\
& {y}''=k\left( k-1 \right){{x}^{k-2}}\quad \left[ 1<k<2\quad {y}''\left( 0 \right)\to \infty ;\quad k=2\quad {y}''\left( 0 \right)=2;\quad 2<k\quad {y}''\left( 0 \right)=0 \right] \\
& \text{Supponiamo di avere un corpo di massa unitaria vincolato a scivolare senza attrito lungo la curva}\text{,} \\
& \text{partendo dalla posizione x=0 y=0}\text{, inizialmente fermo e soggetto a un campo uniforme} \\
& \text{di accelerazione di gravita }\!\!'\!\!\text{ g}\text{.} \\
& {{E}_{p}}=gy={{E}_{k}}=\frac{1}{2}{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}} \right)\quad \frac{{\dot{y}}}{{\dot{x}}}={y}'\quad 2gy=\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{x}}}^{2}}{{{{y}'}}^{2}} \right)\quad 2gy=\left( 1+{{{{y}'}}^{2}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \left[ y\left( 0 \right)=0\quad v\left( 0 \right)=0\quad \dot{x}\left( 0 \right)=0 \right] \\
& a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{d{{E}_{k}}}{dt}=\frac{g\dot{y}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}\dot{x}}=g\frac{{{y}'}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}}=g\frac{k{{x}^{k-1}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}\quad \quad \quad \quad \quad \left[ a\left( 0 \right)=0 \right] \\
& \text{Risoluzione della equazione del moto:} \\
& 2g{{x}^{k}}=\left( 1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}{{{x}^{\frac{k}{2}}}}dx} \\
& \\
& S\text{i vuole indagare soltanto l }\!\!'\!\!\text{ andamento per x molto prossima allo zero}\text{.} \\
& \text{Per superare le difficolta }\!\!'\!\!\text{ di integrazione per k qualsiasi si approssima il numeratore} \\
& \text{della funzione integranda con la formula di Taylor:} \\
& \sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}\quad \text{derivata:}\quad \frac{{{k}^{2}}2\left( k-1 \right){{x}^{2k-3}}}{2\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{k}^{2}}\left( k-1 \right)\frac{{{x}^{2k-3}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{{{D}'}}_{k}}\left( x \right) \\
& k=2 \\
& {{{{D}'}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}\quad {{{{D}'}}_{2}}\left( 0 \right)={{\left. \frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}} \right|}_{0}}=0 \\
& {{{{D}''}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4\sqrt{1+4{{x}^{2}}}-4x\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}}{1+4{{x}^{2}}}=\frac{4\left( 1+4{{x}^{2}} \right)-16{{x}^{2}}}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{4}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\quad {{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)=4 \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1}{x}+2x}dx=\left[ \ln x+{{x}^{2}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}= \\
& =\ln \frac{x}{{{x}_{0}}}+\left[ {{x}^{2}}-{{x}_{0}}^{2} \right] \\
& \text{se }{{\text{x}}_{0}}\text{ tende a 0}\text{, t tende a }\infty \text{ qualunque sia x;} \\
& \text{questo succede perche }\!\!'\!\!\text{ in assenza di forza e} \\
& \text{velocit }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ iniziali il corpo resta fermo indefi-} \\
& \text{nitamente e non raggiunge mai la posizione x} \\
& k=\frac{3}{2} \\
& {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( x \right)=\frac{9}{8}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}\quad {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)=\frac{9}{8} \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+\frac{9}{8}x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\left( 1+\frac{9}{8}x \right){{x}^{-\frac{3}{4}}}dx}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{x}^{-\frac{3}{4}}}+\frac{9}{8}{{x}^{\frac{1}{4}}}dx}= \\
& =\left[ 4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}=4\left( {{x}^{\frac{1}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{1}{4}} \right)+\frac{9}{10}\left( {{x}^{\frac{5}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{5}{4}} \right) \\
& \text{per }{{x}_{0}}=0 \\
& \sqrt{2g}t=4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \\
& \text{anche in assenza di forze e con velocita }\!\!'\!\!\text{ } \\
& \text{iniziale zero il corpo si muove e raggiunge la posizione x al tempo t} \\
& \\
& \text{Questo secondo risultato appare paradossale}\text{. Ma lo e }\!\!'\!\!\text{ davvero?} \\
\end{align}\]