Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

[Shackle]

Ecco, così va bene! Viva i giovani!

[Palliit]

Mi viene spontanea una riflessione: se $dotx(0)=0$ il corpo resta immobile, non c'è verso. Quindi il ragionamento di @Falco5x ( ) acquista un senso solo se si suppone una $dotx(0)=v_0$ , piccola quanto si vuole ma positiva.

Nel qual caso il teorema delle forze vive comporta: $gy=1/2(dotx^2+doty^2)-1/2v_0^2" "$e l'equazione del moto diventa (salvo miei errori, ho fatto un po' di corsa):

$t=int sqrt((1+k^2x^(2k-2))/(v_0^2+2gx^k))dx" "$.

[Falco5x]

Mi viene spontanea una riflessione: se $dotx(0)=0$ il corpo resta immobile, non c'è verso. Quindi il ragionamento di @Falco5x ( ) acquista un senso solo se si suppone una $dotx(0)=v_0$ , piccola quanto si vuole ma positiva.

Nel qual caso il teorema delle forze vive comporta: $gy=1/2(dotx^2+doty^2)-1/2v_0^2" "$e l'equazione del moto diventa (salvo miei errori, ho fatto un po' di corsa):

$t=int sqrt((1+k^2x^(2k-2))/(v_0+2gx^k))dx" "$.

Ciao Palliit!
L'integrale finale per k=3/2 è questo:
\[\sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{0}^{x}{\frac{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}dx}\]
Non considero alcuna $v_0$ apposta, proprio perché risolvendo esce una equazione del tipo
\[\sqrt{2g}t={{x}^{\frac{1}{4}}}\left( \frac{6}{5}x+4 \right)\]
Da qui il paradosso: c'è movimento senza velocità iniziale!
La soluzione però l'ho trovata approssimando nell'intorno dello zero, perché non sono riuscito a integrare la funzione. Se qualcuno ci riuscisse sarebbe buona cosa.

[Falco5x]

Probabilmente il paradosso nasce dalla stranezza di questa funzione $y=x^(3/2)$ per x=0 che fisicamente non può essere realizzata. Ho posto il quesito (cioè se questa funzione potrebbe essere tracciata fisicamente) in un altro forum di matematici... mi aspetto pesci in faccia. Ma io sono un duro e resisterò.

[dRic]

@Falco5x sei sicuro che nel tuo procedimento hai messo correttamente il vincolo che anche l'accelerazione in 0 è nulla ? Perché se imponi solo che la velocità è nulla non basta. Potresti avere, come nel caso di una molla, un punto a velocità nulla ma con accelerazione diversa da zero. Se imponi anche il vincolo di accelerazione nulla (come ho scritto nell'altro post) non mi pare ci siano alternative oltre alla soluzione nulla (ovvero il corpo rimane fermo). Secondo me non c'entra nulla la realizzabilità o meno del tipo di guida che, per me rimane del tutto fattibile da realizzare (basta plottare la funzione e fare un calco...)

[Falco5x]

@Falco5x sei sicuro che nel tuo procedimento hai messo correttamente il vincolo che anche l'accelerazione in 0 è nulla ? Perché se imponi solo che la velocità è nulla non basta. Potresti avere, come nel caso di una molla, un punto a velocità nulla ma con accelerazione diversa da zero. Se imponi anche il vincolo di accelerazione nulla (come ho scritto nell'altro post) non mi pare ci siano alternative oltre alla soluzione nulla (ovvero il corpo rimane fermo). Secondo me non c'entra nulla la realizzabilità o meno del tipo di guida che, per me rimane del tutto fattibile da realizzare (basta plottare la funzione e fare un calco...)

Non è così semplice, la funzione non si può rappresentare geometricamente senza snaturarla nei pressi dello zero.
Prova un po' a pensare come sia possibile tracciare una curva che abbia pendenza zero nell'origine (e questo risponde alla prima tua osservazione: pendenza zero comporta accelerazione zero perché la curva è ortogonale alla direzione della gravità), ma appena ci si sposta di un infinitesimo assume una pendenza diversa da zero in modo discontinuo (altrimenti se la derivata prima fosse continua la derivata seconda, o meglio il suo limite destro sarebbe finito e non infinito). Una cosa del genere non è tracciabile, è solo una astrazione matematica!

[mgrau]

Probabilmente il paradosso nasce dalla stranezza di questa funzione $y=x^(3/2)$ per x=0 che fisicamente non può essere realizzata.

Concordo con @dRic. Che vuol dire "non può essere realizzata"? In un certo senso, nessuna forma geometrica può essere realizzata, nemmeno una retta.... Nel migliore dei casi, ci si scontra con la granularità atomica.
Invece, in pratica, non c'è nessun problema a realizzare $x^(3/2)$, almeno nello stesso modo in cui si può realizzare $x^2$, cioè realizzando la guida in modo che approssimi numericamente la funzione con la massima precisione ottenibile.
Devo dire che, fisicamente, non vedo proprio nessuna particolarità in questa curva. Va bene che, come dice @Shackle, la derivata seconda diverge nell'origine, ma come si può notare questo succede anche per tutte le funzioni del tipo $x^((2n-1)/n)$, che ovviamente approssimano bene quanto si vuole la funzione $x^2$. Ora, che, in questa famiglia di curve, ci sia una discontinuità di comportamento proprio per la parabola, mi sembrerebbe veramente troppo strano.
E poi, @Falco, lascerei proprio perdere le derive quantistiche, come quando dici che la pallina scende contemporaneamente da entrambe le parti...

[Falco5x]

Mi spiace ragazzi, ma non sono d'accordo con chi dice che la curva sia tracciabile.
Da un punto di vista macroscopico la curva è sicuramente tracciabile, ma le singolarità nei pressi dello zero non sono rappresentabili, e sono proprio quelle che producono lo strano fenomeno matematico, che fisicamente non può accadere, del movimento senza causa.
Come può fisicamente muoversi un corpo senza velocità iniziale e senza forza iniziale? Non può. Eppure integrando il moto su questa curva ciò appare matematicamente possibile. Dunque c'è qualcosa che non va, e secondo me sta nella geometria non realizzabile di questa curva sul punto singolare di zero.

Oppure trovatemi voi un'altra spiegazione alla funzione tempo-spazio t(x) che esce integrando l'equazione del moto. Se mi date un'altra spiegazione plausibile sono dispostissimo a cambiare la mia idea.

[Shackle]

Ho provato a calcolare l'integrale indefinito, per k= 3/2, di cui al secondo membro qui di seguito :

L'integrale finale per k=3/2 è questo:

\[ \sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{0}^{x}{\frac{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}dx} \]

con Wolfram Alpha, ecco che cosa si ottiene :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 83%2F4%29+

buona notte ! io non ci capisco, leggo di funzioni ipergeometriche ....

Falco5x , perchè ci hai fatto questo?

[Falco5x]

Falco5x , perchè ci hai fatto questo?

Perché vi voglio bene e vi voglio mettere al corrente delle cose interessanti che scopro

Se ti fidi della mia soluzione "minimal" che è questa
\[\sqrt{2g}t={{x}^{\frac{1}{4}}}\left( \frac{6}{5}x+4 \right)\]

spiega tu come mai esce questo moto senza causa.
A me non vogliono credere quando invoco la singolarità della curva sull'origine come causa di ciò.