Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

[Falco5x]

TI giuro non capisco le equazioni del moto che hai scritto, però mi sembra ovvio che se hai un corpo in un punto di equilibrio instabile e lo sposti di un infinitesimo allora il corpo si mette in moto... Non colgo proprio il tuo dubbio e il senso di tutti calcoli.

PS: in particolare quel modo di scrivere l'accelerazione come derivata dell'energia... l'accelerazione è una quantità vettoriale, mentre l'energia una scalare... La cosa non mi convince. Detto questo sono propenso ad affermare che tu abbia fatto qualche operazione "illecita", anche se non ti saprei dire cosa perché non capisco cosa hai fatto (infatti già alla seconda riga mi sono perso)

Ho saltato formalismi rigorosi per brevità. Quando dico accelerazione intendo il modulo della accelerazione tangenziale, perché per calcolare la legge oraria del moto di un corpo che si muove lungo una guida, ciò che conta è l'accelerazione nel verso tangente alla guida, che è la derivata del modulo della velocità.
$E_k=1/2mv^2$
$(dE)/(dt)=mv(dv)/(dt)=mva$

[Shackle]

Bentornato Falco5x !

Per quanto riguarda l'aspetto matematico, mi sembra che da questa equazione :

$2gx^k = (1+k^2*x^(2(k-1))) dotx^2$

si dovrebbe ricavare, estraendo la radice quadrata :

$sqrt(2g)x^(k/2) = sqrt(1+k^2(x^(2(k-1)))) *dotx$

da cui si dovrebbe ricavare, per la velocità :

$(dx)/(dt) = sqrt(2g) (x^(k/2))/sqrt(1+k^2(x^(2(k-1))))$

o mi sbaglio ? Il tuo procedimento non mi è molto chiaro.

Per l'aspetto fisico, beh, se all’istante t=0 si ha $x=0$ e $dotx=0$, la situazione rimane questa , qualunque sia $t$, se non agisce una forza esterna. In generale, le forze sono funzioni delle variabili dette: $F=F(x,dotx, t)$ . La pallina non si muove da sola.

[dRic]

@Falco5x scusa ma qui mi trovi in disaccordo. Quello che affermi è vero solo per un moto circolare, altrimenti devi tener conto sì della accelerazione radiale e non solo di quella tangenziale... pensa semplicemente a una "guida" ellittica. Ergo non condivido la tua impostazione del problema.

[Gabrio]

No guarda, il moto e' un caso fisico, si usa la matematica per descriverlo in modo preciso.
Le contraddizioni le hai nella testa tu.
a=0, vuol dire che in tutte le direzioni le componenti di a sono nulle.
Quindi, matematicamente, e' un moto rettilineo.
Sulla curva non ci va proprio, perche' ha velocita' nulla.
Tu dici che si trova nell'origine, e li ci resta.
Cosa fai dopo onestamente non mi interessa.
Ma poi E=0, dipende da y e questa vale zero.
La velocita' pure, dipende da x e y e sono zero entrambe.
dx manco esiste, x non varia proprio
E pure la forza F vale zero.
Il disegno poi e' pura fantasia, non e' fisica.

[Falco5x]

Le contraddizioni le hai nella testa tu.

Non ti permettere, sai?
Io non ho nessuna confusione in testa, e in questo forum ho abbastanza autorevolezza, per cui sono certo che ben pochi tra quelli che mi conoscono davvero prendano alla leggera quello che scrivo. Se vuoi continuare a discutere seriamente ok, altrimenti ci salutiamo.
Io ho comunque una pazienza infinita, per cui ti risponderò ugualmente (forse per l'ultima volta se non cambi tono).
La curva è una guida liscia, il corpo è vincolato a scorrere su di essa.
Dunque il moto è come se fosse a 1 dimensione.
Nel punto zero c'è forza zero. E infatti se la curva ha esponente k=2 il corpo da lì non si muove e non c'è alcuna contraddizione.
La contraddizione sorge nel caso di esponente k=3/2, dove le equazioni portano a vedere che il corpo inizia a muoversi comunque.
Ma è forse una contraddizione finta, ed è questo il punto che mi ha portato a pubblicare il caso.

[Falco5x]

@Falco5x scusa ma qui mi trovi in disaccordo. Quello che affermi è vero solo per un moto circolare, altrimenti devi tener conto sì della accelerazione radiale e non solo di quella tangenziale... pensa semplicemente a una "guida" ellittica. Ergo non condivido la tua impostazione del problema.

Quando un corpo è vincolato a una guida liscia, il moto può essere considerato unidimensionale sulla ascissa curvilinea s, e la grandezza che varia la velocità (ovvero il suo modulo) è soltanto l'accelerazione tangenziale, qualunque sia la forma della guida. In questo caso sia la velocità che la accelerazione possono essere considerate grandezze scalari. Per determinare la accelerazione occorre valutare la componente della forza (in questo caso la gravità) lungo la tangente alla curva in ogni punto. Oppure ragionare in termini di energia, come ho fatto io il calcolo, che semplifica le cose. I due metodi sono equivalenti.

[Palliit]

Moderatore: Palliit

@Gabrio: vedi di smorzare immediatamente i toni, se ti sei (re)iscritto solo per provocare puoi prendere subito la porta. E nel frattempo accerteremo l'eventualità di corrispondenza con utenze già bannate.

[Falco5x]

Bentornato Falco5x !

Grazie, carissimo.
Sono tornato ma solo temporaneamente perché, come capirai, mi è venuta subito una gran voglia di andarmene...
Adesso non ho tempo, ma appena possibile considero quello che hai scritto e sarà per me un vero piacere discuterne con te.
A presto!

Un caro saluto anche a Palliit, che spero voglia contribuire a discutere sull'argomento, se ne avrà tempo e voglia.

[Shackle]

Se un punto materiale si muove su una guida liscia, nel campo $vecg $ costante, senza altre forze applicate, la reazione della guida è normale alla stessa in ogni punto, e dev’essere:

$vecR +mvecg= mveca $

che si può proiettare sulla tangente e sulla normale alla guida in ogni punto. Se la guida è un piano inclinato liscio, è facile trovare la soluzione con le leggi della dinamica Newtoniana. Ma se la guida ha forma qualsiasi, in genere si può ricorrere solo al principio di conservazione dell’energia. Nei libri si trova spesso l’esempio dello sciatore.
Ma d’altronde, la forma della guida può anche influire sul moto: sappiamo bene che se si tratta di un quarto di circonferenza il corpo lo abbandona quando l’angolo diventa circa 48 gradi, e continua a cadere come un proiettile.
Ma qui il punto è il comportamento nei dintorni dell’origine...

[Shackle]

Rivedendo i calcoli, giustamente dici che, quando 1<k<2, ad es k = 1.5 , si ha $y” (0)rarr infty$ io mi fermerei qui.
La derivata seconda di y rispetto a x è proporzionale (uguale?) alla curvatura, quindi per k =1.5 la curvatura della curva è infinita nell’origine, e il raggio di curvatura è zero. Mi sembra un punto abbastanza singolare. Invece nel caso della parabola, K=2, la curvatura vale 2.