Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

[mgrau]

Scusate se torno ad argomenti terra terra.
Per k = 3/2 pare che il corpo raggiunga una posizione x diversa da zero in un tempo t diverso da infinito.
Però non si capisce da che lato.
Falco mi ha già risposto che il lato è determinato dalla perturbazione iniziale.
Ma scusa Falco, dove sta la perturbazione iniziale nella tua soluzione? E se non c'è? Lì sembra di capire (salvo miei errori) che si ha un x positivo in un t positivo. E allora, quando scivola a sinistra? Non è un po' strana la soluzione di una equazione di moto che non dice se il corpo si muoverà a destra o a sinistra?
E poi: se accettiamo perturbazioni iniziali, non succede lo stesso anche per k = 2? Se metti una pallina sul vertice di una parabola, anche quella scivolerà da qualche parte. Dove sta la differenza rispetto a k = 3/2

[Falco5x]

Rivedendo i calcoli, giustamente dici che, quando 1<k<2, ad es k = 1.5 , si ha $y” (0)rarr infty$ io mi fermerei qui.
La derivata seconda di y rispetto a x è proporzionale (uguale?) alla curvatura, quindi per k =1.5 la curvatura della curva è infinita nell’origine, e il raggio di curvatura è zero. Mi sembra un punto abbastanza singolare. Invece nel caso della parabola, K=2, la curvatura vale 2.

Caro Shackle non mi deludi mai (non che io ne dubitassi!), hai centrato il problema e forse anche la spiegazione che è la stessa che anch'io mi sono dato.
Ma andiamo con ordine.
Per prima cosa l'equazione che hai pubblicato qualche post più sopra è esatta, e coincide con quella che ho scritto io subito prima di dire "Si vuole indagare soltanto l 'andamento per x molto prossima allo zero".
Questa funzione si integra facilmente per k=2, ma io non sono riuscito a integrarla per k=3/2. Forse non ci ho pensato abbastanza o forse non è proprio integrabile in termini finiti, non so. Se tu vuoi provarci e ci riesci ottieni una benemerenza aggiuntiva.
Siccome però io mi contentavo di indagare per x vicina allo zero, ho approssimato con un artificio che mi ha permesso di utilizzare la regola di de l'Hopital e di integrare così molto più semplicemente.
E' qui che ho scoperto la soluzione "strana" nel caso di k=3/2, cioè:
\[\sqrt{2g}t={{x}^{\frac{1}{4}}}\left( \frac{6}{5}x+4 \right)\]
da cui si vede che il corpo parte ugualmente anche se nel punto iniziale non c'è né forza né velocità iniziale.
Risolvendo invece il sistema nel caso k=2 si vede che il corpo rimane indefinitamente fermo (dettagli nel mio post originario) come è giusto aspettarsi che faccia.
Ora anch'io credo che l'apparente paradosso dipenda dalla non realizzabilità fisica nell'intorno dello zero della curva matematica $y=x^(3/2)$. Questa sembra una curva innocua, ma invece non lo è. Infatti, come anche tu noti, ha derivata prima nulla e derivata seconda infinita sul punto x=0. Che significa? Significa, in parole grossolane, che sullo zero è orizzontale, ma appena ci si sposta di uno spostamento infinitesimo la pendenza non cresce anch'essa di un infinitesimo, come accadrebbe in una curva "normale", ma cresce di un valore piccolissimo ma finito. Infatti solo una discontinuità finita nella derivata prima può dare luogo a una derivata seconda infinita. Cosa significa tutto ciò? Io non riesco a figurarmelo molto bene, si tratta forse di una sottigliezza da matematici. Mi limito a osservare due cose: per prima cosa una curva fisica così fatta non sarebbe fattibile; in secondo luogo il modello matematico può anche andare oltre la realtà discostandosi da essa quando il modello fisico non riesce a seguirlo pari pari. Tu che ne pensi? Ciao.

[Falco5x]

Scusate se torno ad argomenti terra terra.
Per k = 3/2 pare che il corpo raggiunga una posizione x diversa da zero in un tempo t diverso da infinito.
Però non si capisce da che lato.
Falco mi ha già risposto che il lato è determinato dalla perturbazione iniziale.
Ma scusa Falco, dove sta la perturbazione iniziale nella tua soluzione? E se non c'è? Lì sembra di capire (salvo miei errori) che si ha un x positivo in un t positivo. E allora, quando scivola a sinistra? Non è un po' strana la soluzione di una equazione di moto che non dice se il corpo si muoverà a destra o a sinistra?
E poi: se accettiamo perturbazioni iniziali, non succede lo stesso anche per k = 2? Se metti una pallina sul vertice di una parabola, anche quella scivolerà da qualche parte. Dove sta la differenza rispetto a k = 3/2

Caro mgrau, tu aggiungi un ulteriore punto di riflessione a una questione già problematica. Benvenuto nel club dei dubbiosi. Mi arrampico un po' sugli specchi e cerco di risponderti.
Nel caso k=2 non ci sono dubbi: senza perturbazione iniziale il corpo sta fermo nel punto zero, con una perturbazione il corpo scende dalla parte dove lo spinge la perturbazione.
Il caso k=3/2 sembra far scendere il corpo senza nessuna spinta iniziale e già questo fisicamente è paradossale. Forse la risposta sta in ciò che ho appena scritto a Shackle o forse no. Fatto sta che una curva come questa fisicamente non esiste. Dal punto di vista matematico ti direi che il corpo potrebbe scendere da una qualsiasi delle due parti con uguale probabilità (o anche di scendere contemporaneamente da entrambe!) ma mi rendo conto che siamo nell'astrazione matematica pura perché qui il modello matematico non corrisponde più a nessun modello fisico. Di più non so dire. Se avessi tutte le risposte su questo strano caso non avrei nemmeno pubblicato questo thread.

[Shackle]

Vi sottopongo intanto alcune riflessioni . La funzione reale di variabile reale :

$y = x^(3/2) = sqrt(x^3)$

è definita solo per $x>=0$ , perchè il radicando di una radice di indice pari deve essere positivo o nullo. LA derivata prima di $y$ rispetto a $x$ vale :

$(dy)/(dx) = 3/2sqrtx$

e anche questa, considerandola come funzione reale di variabile reale, è definita per $x>=0$ . La sua derivata vale:

$y'' = 3/4*1/sqrtx $

e questa funzione è definita per $x>0$ . Non c'è neanche l'uguale, perchè il denominatore deve essere diverso da zero.

Io mi sono un po' scordato queste faccende , relative allo studio di funzioni reali, ma mi chiedo, e chiedo soprattutto a un matematico : è lecito derivare una funzione in un punto estremo del dominio ? Mi pare si debba parlare di derivata destra , in questo caso, ma francamente non me lo ricordo.

Quindi, abbiamo una curva, che parte dall'origine e va solo verso il lato positivo delle $x$...Ora non posso, ma non dovrebbe essere difficile tracciarne il grafico con Geogebra, ci proverò stasera. Certo che come guida fisica forse è impossibile, ha ragione Falco5x.

Per l'integrale, si può provare con Wolfram/Alpha , vedrò anche questo.

[Shackle]

Mewttendo $k =3/2$ , l'integrale diventa (pongo il fattore costante = 1 )

$(dx)/(dt) = (x^(3/4))/(sqrt(1 + 9/4x)) \rarr dx =(x^(3/4))/(sqrt(1 + 9/4x))dt $

questo è l'eq diff da risolvere, quindi si tratta di calcolare l'integrale del 2º membro .

[dRic]

Il problema mi sa è tutto di matematica, come di @Shakle. Non sono sicuro di riuscire a trovare l' "errore" nei calcoli, ma sono abbastanza convinto che la funzione $y = -x^{3/2}$ non abbia nulla di non-fisico, anzi è una legittimissima traiettoria come tutte le altre.

Io farei le seguenti considerazioni: intanto noto che la velocità e l'accelerazione lungo y e x sono ( a meno di una costante ) le derivate totali rispetto al tempo e pertanto sussiste la relazione (ovviamente suppongo che nel 3/2 ci sia dentro una qualche costante unitaria che faccia tornare le unità di misura):

$ \dot y = - \frac 3 2 \sqrt{x} \ dot x $

$ \ddot y = -\frac 3 2 \left[ \frac 1 2 \frac 1 {\sqrt{x}} \dot x ^2 + \sqrt{x} \ddot x \right] $

Dalla prima si vede che se imposto come condizione al contorno che $ \dot x (0) = 0$ (velocità nulla all'origine) allora segue che anche $ \dot y(0) = 0 $. A questo punto, se come ulteriore condizione al contorno, specifico che $ \ddot x(0) = 0 $ allora ne segue che $ \ddot y(0) = 0$ quindi non c'è contraddizione: se sono "in cima" alla curva e non ho "displacement" lungo la direzione $x$ il corpo rimane fermo.

PS: poi ora che @Shakle ha postato l'integrale, ammettendo sia corretto (non per dubitare, ma semplicemente perché non ci so arrivare), mi sembra che torni. Per x = 0, la derivata di x è nulla, in accordo con le condizioni al contorno sopra discusse.

[Shackle]

Però, dRic, ora mi viene qualche dubbio sulle variabili...ho scritto bene? Mi sa di no...
Che brutto dimenticare le cose fondamentali...

[dRic]

@Shakle, scusa non ho capito il tuo dubbio.

[Shackle]

Dove è la variabile tempo nella funzione integranda? Mi sto incartando da solo...

[dRic]

Non ti seguo scusa.

$$\int dx \left[ \frac {x ^ {\frac 3 4}}{ \sqrt{ 1 + \frac 9 4 x}} \right]^{-1}= \int dt$$

e si trova qualcosa del tipo $t = f(x(t))$ che dovrà essere esplicitato in funzione di $t$ (se possibile).