Sto cercando di analizzare la seguente situazione: è assegnato un condensatore a facce piane e parallele in cui le armature sono dei quadrati di lato $l$ e l'armatura positivamente carica ha una carica $Q$, e le due armature sono separate da una distanza $d$. Ad un certo punto si inserisce tra le armature un conduttore rettangolare di altezza $h$ per un tratto di lunghezza $x$ e vogliamo stabilire la capacità del sistema.
La situazione è questa:
1. C'è un tratto di conduttore avente superficie $l(l-x)$ dove tra le armature c'è il vuoto; chiamiamolo $C_1$.
2. C'è un tratto di conduttore avente superficie $lx$ tra le cui armature è inserito il conduttore rettangolare di altezza $h$, e pertanto per un tratto $d-h$ c'è il vuoto tra le armature; chiamiamolo $C_2$.
Pensavo di considerare i due tratti come se fossero condensatori diversi e asserisco che sono in parallelo.
Chiaramente le due armature del condensatore iniziale sono materiali conduttori pertanto la loro superficie è equipotenziale, e le armature di ciascuno dei condensatori concettuali prima introdotti sono in realtà parte di una stessa armatura del condensatore di partenza per cui sono allo stesso potenziale. Questo è vero per entrambe le armature e pertanto la differenza di potenziale nei due condensatori dev'essere la stessa, ossia sono in parallelo.
Tuttavia volevo supportare la mia tesi in maniera più formale così ho cercato di calcolare la differenza di potenziale tra le armature dei due condensatori concettuali. Considerando il condensatore $C_1$ per calcolare la differenza di potenziale tra le armature procedo per definizione: prendo come punto di partenza uno che sta sull'armatura negativamente carica, $A$ and ed uno immediatamente sopra sulla piastra opposta, $B$. Scegliendo come curva una che va da $A$ a $B$ ortogonalmente all'armatura si trova che
$$V_{1} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0}d$$
Ripeto l'esperimento con l'altro tratto dove c'è il conduttore, $C_2$ e quando scelgo la curva su cui calcolare la differenza di potenziale prendo nuovamente una che va dal punto $A$ al punto $B$ perpendicolarmente alle armature. Questa curva attraverserà il conduttore per un tratto di lunghezza $h$ e in tutti i punti di questo tratto, che sono interni al conduttore, per definizione non c'è campo elettrico e quindi non viene portato contributo alla differenza di potenziale, cosicché
$$V_{2} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0}(d-h)$$
Sembrerebbe che le due differenze di potenziale non siano uguali e quindi i due condensatori non siano in parallelo.
Chiaramente il secondo ragionamento non funziona, ma perché?