Rotolamento puro corpo rigido

[Lucacs]

A riprova
Lo spazio percorso rotolando e traslando e:
$vt_0-1/2mug*t_0^2= v^2/(3mug) -1/2 mug v^2/(9mu^2g^2)= 5/18 v^2/(mug) $
La differenza di energia meccanica tra l'inizio e il momento del rotolamento:
$1/2Mv^2- 1/2Mv_0^2-1/2I (v_0/R)^2= 1/2 Mv^2 -1/2 M (2/3 v) ^2- 1/2*1/2MR^2(2/3 v/R) ^2= 1/3(1/2 Mv^2)$
E torna ancora
Lo spazio percorso strisciando sarà lo spazio totale percorso meno l'integrale tra zero e $v/(3mug) $ di $R ωdt=(R2mug) /R *t dt$
Cioè :
$5/18v^2/(mug) - 1/9 v^2/(mug) = 1/6 v^2/(mug) $

Ovviamente $v_0=2/3v$ viene da $ωR =v$ e da $ω(t) = (2mug) /R*t_0$
Dove $t_0=v/(3mug)$

[professorkappa]

Soluzione banale.
Condizioni iniziali del problema
$omega(0)=omega_0=3/[sec]$
$v(0)=0$

Rotazioni positive orarie, asse delle x rivolto verso destra, la velocita' lineare e' quella del CdM del disco
Forza d'attrito: $F_a=mumg$. Ergo, accelerazione $a=mug$ (positive, perche' il disco ruota in senso orario, per cui la forza d' attrito e' rivolta verso dx.

Equazioni del moto durante il moto di strisciamento

Per il centro di massa $v(t)=v(0)+at$ il che implica: $v=mug t$ e $x_G=1/2mug t^2$

Per il moto rotatorio $I[domega(t)]/[dt]=-F_aR$ da cui $[domega(t)]/[dt]=-F_aR=-2[mumgR]/[mR^2]=-2[mug]/[R]$

Integrando e ricordando che $omega (0)=omega_0$

$omega(t)=-2[mug]/[R]*t+omega_0$

L'istante in cui si instaura il moto di rotolamento puro e' sostenuto dal $v(t)=omega(t)*R$

Quindi $mug t=-2[mug]/[R]*t+omega_0$ che ti da' il tempo

$t=[omega_0R]/[3mug]$

In questo tempo, il baricentro di sposta secondo la legge gia' scritta sopra $x_G=1/2mug t^2$

Ovvero $x_G=1/2mug [[omega_0R]/[3mug]]^2=1/2mug[omega_0R]^2*[1]/[9[mug]^2]=1/[18][omega_0R]^2/[mug]$


Ora, se volessimo verificare che vale il teorema delle forze vive (cosa che non ha senso per la risoluzione perche devo comunuqe calcolare il tempo, e allora tanto vale), dovremmo calcolare di quanto ruot il disco nel tratto di slittamento e viene

$theta_f=-[mug]/[R]*t^2+omega_0t=-[mug]/[R]*[[omega_0R]/[3mug]]^2+omega_0*[omega_0R]/[3mug]=2/9omega_0^2R/[mug]$ (questo $theta_f$ torna dopo, ora non serve

Velocita' di rotazione al momento del rotolamento puro:

$omega_f=omega_0-2mug/Rt=omega_0-2mug/R[omega_0R]/[3mug]=1/3omega_0$

Energia cinetica finale: $E_f=1/2*3/2mR^2*1/9omega_0^2$
Energia cinetica iniziale $E_i=1/2mR^2/2omega_0^2$

$DeltaE=1/2[3/2mR^2*1/9omega_0^2-mR^2/2omega_0^2]=1/2mR^2[1/6-1/2]omega_0^2=-1/6mR^2omega_0^2$

Qui e' dove occorre fare attenzione: il lavoro fatto dall'attrito e' pertinente solo alla porzione di angolo con cui il disco slitta (che chiamiamo $theta_s$).

Quindi

$L=-F_aRtheta_s$Per il teorema delle forze vive

$-F_aRtheta_s=-1/6mR^2omega_0^2$ e quindi

$theta_s=1/6Romega_0^2/[mug]$

Lo spostamento del centro di massa durante il moto con slittamento si calcola come se il disco abbia ruotato su tutto $theta_f$ di rotolamento puro, cosa che cosi non e': infatti va sottratta la quantita dovuta allo slittamento $Rtheta_s$.

Quindi

$x_G=Rtheta_f-Rtheta_s=R(2/9omega_0^2R/[mug]-1/6mRomega_0^2)=[1/18]omega_0^2R^2/[mug]$

Mi sembra che al solito Lucacs faccia sempre confusione.
Le risposte erano gia' nel mio primo post e basta leggere la parte che ho evidenziato per vedere che:

a) Se per slittamento si intende la distanza di cui si sposta il centro del disco, la soluzione e'

$x_G=[1/18]omega_0^2R^2/[mug]$
Che ho trovato sia per via cinematica che con l'uso delle forze vive

b) Se per slittamento si intende il tratto di strisciamento come evidenziato da Elias, questa e' data da

$Rtheta_s=1/6R^2omega_0^2/[mug]$

Il tutto senza creare tutta la confusione che hai creato , con formule estremamente confuse, usando ad ogni post simboli diversi, equazioni a volte sbagliate, a volte inutili e incasinando tutto (leggi il tuo ultimo post) quando la soluzione dovrebbe essere solo in funzione delle grandezze note dal problema.

[Lucacs]

Peccato che sei tu a dire 3 volte che la soluzione del prof è sbagliata, e non è vero, ma insisti
Peccato che le mie equazioni non sono per nulla sbagliate e tutte le verifiche lo provano
Peccato che trovo il tuo post incomprensibile se non letto 4 volte
Peccato che la tua soluzione banale sia venuta dopo la mia

Bravo, hai applicato il teorema delle forze vive, e hai visto tutto dal baricentro..... ma potevi evitare le polemiche

[professorkappa]

Peccato che tutto quello che hai scritto e' errato.

[Palliit]

Secondo me la risposta è $3mg$ .