Salve a tutti, approfittando della quarantena stavo preparando lezioni sull'elettrostatica ma la definizione di flusso su una superficie qualunque per presentare poi le applicazioni del teorema di Gauss mi ha fatto sorgere un problema.
Da profondo odiatore dei simboli del tipo $dx$ (almeno quando non sono utilizzati per le forme differenziali) ho pensato di ricalcare quello che viene fatto per l'integrale di Riemann (che gli studenti vedono in matematica a distanza di poco tempo), cioè parlo di partizioni e raffinamenti su una superficie (in maniera intuitiva) e in ogni porzione $\Delta S$ di superficie considero il minimo e il massimo della funzione \[
\overrightarrow{E}\cdot\widehat{n}
\]
($m$ e $M$ rispettivamente) e affermo che
\[
\sum_i^n m_i\Delta S\le\Phi(\overrightarrow{E})\le\sum_i^n M_i\Delta S.
\]
Successivamente passo al $\Sup$ sull'insieme delle partizioni.
Il problema è che non sono riuscito a trovare in nessun libro una definizione di integrale di superficie come questa. Ovviamente la ometterò insieme alla regola per il calcolo di tale integrale (dirò solo quelle proprietà necessarie a calcolare il flusso in casi molto particolari) però è per essere "in pace con la coscienza", vorrei essere sicuro che quelle somme tendono esattamente all'integrale di superficie che, nei libri di analisi che ho, è definito utilizzando le aree della regione di spazio tangente corrispondente anziché della superficie stessa (ovviamente al limite è la stessa cosa ma trovo molto più intuitivo e comprensibile utilizzare porzioni di superficie).
Qualcuno può fornirmi un riferimento per la dimostrazione di quanto ho detto? Oppure c'è una maniera più corretta ma altrettanto intuitiva che mi sfugge?