Definizione di flusso

[Pierlu11]

Salve a tutti, approfittando della quarantena stavo preparando lezioni sull'elettrostatica ma la definizione di flusso su una superficie qualunque per presentare poi le applicazioni del teorema di Gauss mi ha fatto sorgere un problema.
Da profondo odiatore dei simboli del tipo $dx$ (almeno quando non sono utilizzati per le forme differenziali) ho pensato di ricalcare quello che viene fatto per l'integrale di Riemann (che gli studenti vedono in matematica a distanza di poco tempo), cioè parlo di partizioni e raffinamenti su una superficie (in maniera intuitiva) e in ogni porzione $\Delta S$ di superficie considero il minimo e il massimo della funzione \[
\overrightarrow{E}\cdot\widehat{n}
\]
($m$ e $M$ rispettivamente) e affermo che
\[
\sum_i^n m_i\Delta S\le\Phi(\overrightarrow{E})\le\sum_i^n M_i\Delta S.
\]
Successivamente passo al $\Sup$ sull'insieme delle partizioni.
Il problema è che non sono riuscito a trovare in nessun libro una definizione di integrale di superficie come questa. Ovviamente la ometterò insieme alla regola per il calcolo di tale integrale (dirò solo quelle proprietà necessarie a calcolare il flusso in casi molto particolari) però è per essere "in pace con la coscienza", vorrei essere sicuro che quelle somme tendono esattamente all'integrale di superficie che, nei libri di analisi che ho, è definito utilizzando le aree della regione di spazio tangente corrispondente anziché della superficie stessa (ovviamente al limite è la stessa cosa ma trovo molto più intuitivo e comprensibile utilizzare porzioni di superficie).
Qualcuno può fornirmi un riferimento per la dimostrazione di quanto ho detto? Oppure c'è una maniera più corretta ma altrettanto intuitiva che mi sfugge?

[@melia]

Ciao Pierlu11, più che di Didattica della Matematica, questa mi sembra una domanda di Fisica. Sposto nell'area più adatta.

[Lucacs]

Tutto bello ma incalcolabile
Dovresti fargli un po di lezioni sulle superfici
Comunque l'integrale di Riemann su $ R^n $ si riconduce a n integrali su R.

[Pierlu11]

L'intenzione era solo quella di dare una corretta definizione. Essendo un quinto liceo non posso dare nozioni sulle curve e le superfici differenziali, di conseguenza ometterei il calcolo di quell'integrale.
La mia richiesta era solo una dimostrazione di quanto detto (da tenere per me).

[Lucacs]

Penso che l'integrale di Riemann su R^n lo trovi in qualsiasi libro di Analisi II.
Quello che hai scritto va benissimo

[Pierlu11]

In quelli che ho o viene omessa la dimostrazione o viene fatta utilizzando le corrispondenti aree nello spazio tangente, non usano questo genere di impostazione. Per questo mi chiedevo se c'è un riferimento che invece imposta a definizione così. Se hai un libro di Analisi II al quale posso far riferimento puoi darmi il titolo? Ti ringrazio in anticipo!

[Lucacs]

Il capitolo misura è integrazione del Pagani Salsa.
Ma trovi molte dispense sull'integrazione di Riemann, che è argomento di analisi uno e in R^n non è affatto diversa

[Pierlu11]

Non parlo di integrazione in R^n, lì so bene che la definizione che di da è proprio quella analoga a quella in R. ho dato un'occhiata al Pagani Salsa e mi sembra usi i simboli $dS$... (Mi riferisco al libro Analisi matematica 2 di Bramanti, Pagani, Salsa)

[mgrau]

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Suppongo che la tua classe sia formata da tanti piccoli Gauss...

[Lucacs]

Credo che tu non abbia capito.
Leggiti questo.
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