$t’ = gamma( t-vx)$
$x’= gamma (x-vt)$
$y’=y$
$z’=z$
in cui $v= v/c$ è adimensionale, ed è cosí assicurata l’omogeneità dimensionale : sono tutte lunghezze.
Premesso ciò, i due effetti relativistici di cui vorrei brevemente parlare sono :
1)la relatività della contemporaneità : due eventi, contemporanei per un OI , non sono più contemporanei per un altro OI’ in moto relativo ad OI con velocità $v$
2) LA desincronizzazione degli orologi in moto; due o più orologi del riferimento mobile, che nel proprio riferimento sono sincronizzati , perdono la sincronizzazione quando osservati dal riferimento di quiete.
Vediamo il primo effetto.
Prendiamo due eventi A e B, che nel riferimento di quiete hanno coordinate spazio-temporali :
$(t_A,x_A)$
$(t_B, x_B)$
Le TL ci permettono di trovare le coordinate nel riferimento mobile (con apice) sia dell’evento A che dell’evento B :
$t’_A=gamma ( t_A - vx_A)$
$x’_A = gamma (x_A-vt_A)$
e analogamente per B :
$t’_B=gamma ( t_B - vx_B)$
$x’_B = gamma (x_B-vt_B)$
Supponiamo data la distanza spaziale tra i due eventi : $x_B -x_A = L $ nel riferimento coordinato. LA posizione dei due eventi è con B alla destra di A sull’asse $x$ o una sua parallela, e le TL sono scritte tenendo conto del moto di O’, che si sposta da sinistra verso destra, sicché per O’ l’evento A è anteriore, l’evento B è posteriore.
Calcoliamo le differenze di tempo tra gli eventi nel riferimento mobile :
$t’_B-t’_A = gamma[(t_B-t_A) -vL ] = -gammavL $ , poichè $t_B=t_A$
se ripristiniamo $c$ in unità tradizionali , si ha :
$c(t’_B-t’_A) = -gamma (vL)/c rarr(t’_B-t’_A)= -gamma (vL)/c^2 rarr t’_B = t’_A-gamma (vL)/c^2$
Quindi per osservatore mobile l’evento $B$ spazialmente posteriore avviene prima dell’evento A; ecco quindi la conclusione : due eventi, contemporanei per un certo osservatore, non sono più contemporanei per un altro osservatore in moto rispetto al primo.
Naturalmente nulla vieta di assumere per $v$ il verso opposto, ma allora A sarebbe l’evento posteriore.
In conclusione, l’evento spazialmente più lontano accade per O’ prima di quello più vicino. Ho fatto anche un diagramma di Minkowski , nel quale ho anche calcolato la differenza tra i tempi coordinati dei punti Q e P , determinati dall’intersezione dell’asse x’ con le linee di universo (parallele all’asse t) passanti per A e B . Risulta, mettendo nuovamente in chiaro $c$ :
$t_Q - t_P = (vL)/c^2$
Ecco come si ricava questa formuletta, che serve per ciò che si dirà in seguito. La retta $x’$ , retta di contemporaneità dell’ OI mobile, ha equazione cartesiana, nel riferimento $(t,x)$ dell’ OI fisso (ripristino $c$ in unità tradizionali per miglior comprensione) :
$ct = tg\varphi*x rarr ct =v/c*x$
mettendo nella formula una volta $x_P$ e una volta $x_Q$ , dividendo per $c$ e facendo la differenza delle relative ordinate, si ha :
$t_Q - t_P = v/c^2(x_Q-x_P) = (vL)/c^2$ , che è quello scritto sopra.
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2) LA desincronizzazione degli orologi in moto è sostanzialmente un altro modo per esporre la relatività della contemporaneità.
Guardando la figura, si può dire che i punti P e Q sono due eventi contemporanei nel riferimento mobile, perchè giacciono entrambi sull’asse $x’$. Immaginiamoli quindi come due orologi solidali al riferimento mobile, che indicano lo stesso tempo proprio. Inoltre, sappiamo che tagliando la striscia di universo di AB , determinata sul piano coordinato dalle verticali passanti per A e B, con l’asse $x’$ , otteniamo il vettore PQ , la cui norma non è altro che la lunghezza contratta di $L$ , cioè : $ |PQ| = L_c = L/\gamma$ .
Allora, scriviamo le trasformazioni inverse di Lorentz per gli eventi P e Q :
$t_Q = gamma(t’_Q +vx’_Q)$
$t_P = gamma(t’_P +vx’_P)$
sottraendo membro a membro, e tenendo presente quanto sopra detto , si ha :
$t_Q - t_P = gamma[(t’_Q-t’_P) + v(x’_Q-x’_P)]= gammavL_c = vL $
ripristinando $c$ come necessario : $ t_Q-t_P = (vL)/c^2 $
come avevamo ricavato prima per via esclusivamente geometrica. Perciò è anche vero che :
$ t_Q=t_P + (vL)/c^2 $
Ora abbiamo usato le TL inverse, ma risulta sempre quanto affermato prima : il tempo coordinato dell’orologio posteriore Q è maggiore del tempo di quello anteriore P, i due orologi mobili hanno perso la sincronia rispetto ad OI fisso, pur conservandola naturalmente nel proprio riferimento. Maggiore è L ( distanza NON contratta tra P e Q : $L = gamma L_c$ ), maggiore è la desincronizzazione.
E questo è ciò che vuol dire: gli orologi in moto si desincronizzano rispetto all’OI fisso, altra maniera per esporre la relatività della contemporaneità tra eventi.
Saluti.