Spettroscopia e modello di BohrPrima di parlare del modello atomico di Bohr, è bene che ci soffermiamo un po' sullo stato dell'arte della spettroscopia nel 1913, così da chiarirti un po' meglio tutta questa storia degli atomi che emettono luce.
Alcuni fisici dell'epoca si dedicavano allo studio di questo fenomeno: prendere della materia, scaldarla così tanto da farle emettere luce, collimare la luce in una fessura, dividere la luce nelle varie lunghezze d'onda tramite una serie di fessure o un reticolo di diffrazione, e studiare il risultato su uno schermo.
Dopo aver fatto tutto questo lavoro, sullo schermo appare una cosa del genere:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Quella che vedi è la porzione visibile dello spettro elettromagnetico, e le linee rappresentano (tutte e sole) le lunghezze d'onda/energie (è l'ultima volta che le scrivo entrambe, sono intercambiabili!
1) dei fotoni emessi dagli atomi; in particolare questo è lo
spettro di emissione dell'atomo di IdrogenoQuindi, come ti avevo anticipato, i fotoni emessi dall'atomo di H che abbiano lunghezze d'onda comprese tra i 400 nm e i 700 nm possono avere solo ed esclusivamente quelle cinque lunghezze d'onda dell'immagine.
Come puoi immaginare, tutto ciò diede molto da pensare ai fisici dell'epoca. Piano piano si arrivò ad un paio di formule, squisitamente empiriche, che descrivevano abbastanza bene le serie di linee che presentava lo spettro dell' atomo di idrogeno, tutte racchiuse nell'espressione:
$k_n = R_H (1/(a^2) - \frac{1}{n^2}) \qquad (1)$
dove $k_n$ è il numero d'onda della riga n-esima ($k_n = \frac{1}{\lambda_n}$), $a = 1,2,3,4,5$ è un parametro che cambia a seconda della serie (ognuna porta il nome del proprio scopritore, vattele a cercare) e $n$ è tale che $n>a$.
$R_H$ è una costante detta
costante di Rydberg per l'idrogeno ed ha un valore $R_H = 10967757 m^-1$ (questa volta te la do io, ma non ti ci abituare!).
Non te l'ho ancora detto, ma probabilmente inizi a sospettarlo: ogni atomo conosciuto ha il proprio spettro di emissione e di assorbimento
2 e ci sono formule analoghe alla $(1)$ per le varie sere di linee, in cui la costante di Rydberg aumenta sistematicamente col numero atomico, ma comunque per non più dello 0.05% anche per gli elementi più pesanti[2].
DUNQUE! Come si risolve tutto questo casino? Atomi che emettono luce, ma solo a determinate lunghezze d'onda, atomi che dovrebbero collassare, ma non collassano... Mi immagino i fisici dell'epoca schizzare da una parte all'altra del dipartimento cercando di elaborare tutte queste informazioni in un'ottica (pun intendend) ben precisa.
Uno che sicuramente le cose le aveva iniziate a mettere nell'ottica giusta era Niels Bohr. Si arrese all'evidenza sperimentale e pensò che tanto valeva fare un modello che includesse tutte le particolarità osservate e che magari aiutasse anche a capire cosa succede.
La sua intuizione geniale fu quella di assegnare l'emissione di fotoni da parte dell'atomo ad un processo di perdita di energia da parte di un'elettrone che passase da un'orbita di energia maggiore ad una di energia minore. Il fatto che solo determinate energie dei fotoni emessi fossero osservate lo spiegò ipotizzando che gli elettroni fossero costretti su determinate orbite, la cui differenza energetica corrispondeva esattamente all'energia del fotone emesso
3.
Ma facciamo i fisici per bene, e scriviamo i
Postulati del modello atomico di Bohr belli precisi:
1 Un elettrone orbita attorno al nucleo in orbite circolari, sotto l'effetto della forza di Coulomb e secondo le leggi della meccanica classica.
2 L'elettrone ha accesso solo alle orbite per il quale ha momento angolare orbitale multiplo intero di $\hbar$, $L=n \hbar$, $n=1,2,3...$
3 Un elettrone che si muova entro tali orbite NON irradia energia elettromagnetica, dunque la sua energia rimane costante.
4 Radiazione elettromagnetica viene emessa quando un fotone passa da un'orbita di energia $E_i$ ad un'orbita di energia $E_f$. La frequenza $\nu$ del fotone emesso è data dalla legge di Planck: $\nu = (E_f - E_i)/h$ dove $h$ è la costante di Planck.
Da questi quattro postulati, apparentemente innocui, si possono dedurre, e anche calcolare, proprietà importantissime dell'atomo! La quantizzazione del momento angolare imposta dal secondo postulato, insieme a semplici considerazioni fisiche, permette di trovare delle
condizioni di quantizzazione su tutte le grandezze in gioco, quali:
raggio atomico,
velocità dell'elettrone nell'orbita e, soprattutto
energia dell'elettrone.
Se tutto ciò non ti bastasse, utilizzando il postulato
4, si può anche ritrovare la formula $(1)$ per le serie di linee negli spettri di emissione!
Da me ti basti sapere questo, poi se vuoi vedere tutte queste meraviglie con i tuoi occhi ti rimando a [2] per ricavare le condizioni di quantizzazione e per ritrovare la formula $(1)$ utilizzando i postulati
2 e
4.
Qui mi limito a riportarti i risultati che si ottengono per i valori ammessi del raggio atomico $r_n$ e dell'energia $E_n$:
$r_n= \frac{4 \pi \varepsilon_0 h^2}{mZe^2} n^2 , \quad E_n= - \frac{mZ^2 e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 2 h^2} \frac{1}{n^2},\quad n=1,2,3...$
Dove $h$ è in realta h tagliato: ($\hbar \quad = h/(2 \pi)$), purtroppo non riesco a scriverlo in maniera decente, cercherò di specificare quando serve.
Tutti i calcoli suddetti vengono fatti con l'ipotesi di un nucleo di massa infinita. Malgrado questa sia in generale una buona ipotesi, i dati spettroscopici sono così precisi che occorre aggiungere delle correzioni per la massa finita del nucleo, vedi sempre [2]. In pratica si ottengono gli stessi risultati, in cui la massa dell'elettrone $m$ va (ovviamente) sostituita con la massa ridotta del sistema nucleo-elettrone $\mu$.
Inutile dirti che questo modello atomico si rivelò un successo nello spiegare le (prime) stranezze della Meccanica Quantistica. Infatti, ritrovando teoricamente il valore di $R_H$ tramite la $(1)$, e comparandolo con i dati sperimentali, si ha una corrispondenza più che soddisfacente [2].
Tutto ciò è, ovviamente, molto bello. Restano un sacco di misteri però, sulla "arbitrarietà" dei postulati di Bohr, sul fenomeno di quantizzazione dell'energia di un atomo e bla bla...
Se tutto questo non bastasse, ho anche da farti una piccola confessione. Hai presente quando ti ho detto che quelle linee dello spettro di emissione dell'idrogeno rappresentavano singoli stati energetici dei fotoni? Bene, sappi che ho mentito sapendo di mentire
Ben presto ci si accorse che quelle singole linee erano in realtà più linee "sovrapposte" l'una all'altra. Uso le virgolette perché, chiaramente, queste linee non sono davvero sovrapposte, semplicemente il loro reciproco distanziamento è molto più piccolo rispetto al distanziamento delle linee "normali" dello spettro (e quando dico molto più piccolo, intendo $10^ -4$ volte più piccolo).
Questo vuol dire che in realtà gli stati energetici dei fotoni emessi sono di più di quelli che sembrano, e i fisici dell'epoca si ritrovarono a dover risolvere il mistero della cosidetta
struttura fine dei livelli energetici dell'atomo di idrogeno.
Indice
).
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