The Planck series: Un viaggio informale all'interno della Materia

[singularity]

Autofunzioni complete, operatori e commutatori

Nell'ultimo capitolo siamo finalmente riusciti a capirci qualcosa sulle soluzioni dell' $\text{ESIT}$ per l'atomo di idrogeno. È venuto fuori che esistono soluzioni accettabili nella forma $\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)$, dove ${n,l,m}$ sono numeri interi che possono assumere solo determinati valori e che vanno a definire completamente¹ lo stato dell'elettrone.
Le funzioni $R_{nl}(r)$ (autofunzioni radiali) e $\Y_{lm}(\theta, \phi)$ (armoniche sferiche) te le scrivo qui, una volta per tutte:

$R_{nl} = -{(\frac{2Z}{n a_0})^2 \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3}}^{1/2} e^{-\rho/2} \rho^l L_{n+l} ^{2l +1} (\rho),\quad \rho= \frac{2Z}{na_0}r \qquad \text{(1)}$

$Y_{lm}(\theta, \phi) = (-1)^m [\frac{(2l+1)(l-m)!}{4 \pi (l+m)!}]^{1/2}P_l ^m (\cos\theta)e^{im \phi}, \quad m >= 0 \qquad \text{(2)}$

mentre per valori negativi di $m$ si ha $Y_{l -m}(\theta, \phi)= (-1)^m Y_{lm} ^{\text{*}}(\theta, \phi)$, dove il simbolo $\text{*}$ sta ad indicare il complesso coniugato. Per le espressioni di $L_{n+l} ^{2l +1} (\rho)$ e $P_l ^m (\cos\theta)$ con le notazioni usate qui, ti rimando a [1].

Come vedi non sono esattamente le funzioni più intuitive del mondo, e stiamo parlando ancora dell'atomo più semplice possibile, con UN solo elettrone. Ti lascio immaginare cosa arriverà tra un po'...

Comunque la moltitudine di costanti davanti alle autofunzioni non è casuale. Se ti ricordi, durante la Pausa di riflessione sulla teoria di Schroedinger avevamo parlato del fatto che il modulo quadro della funzione d'onda rappresentasse la densità di probabilità degli stati sulle posizioni, in particolare:

$P(\text{elettrone all'interno di }d\tau)=\abs{\psi}^2 d\tau \qquad \text{(3)}$

Va da sé dunque che una delle proprietà di cui un'autofunzione non può fare a meno è il fatto di essere normalizzata a 1, che in matematichese si può scrivere:

$\int_{\Omega} \abs{\psi}^2 d \tau=1 \qquad \text{(4)}$

dove $\Omega$ è tutto lo spazio in cui sono definite le variabili di $\psi$. Questo significa semplicemente che la somma di tutte le probabilità deve fare uno. Nel nostro caso stiamo utilizzando le coordinate polari, quindi esplicitamente possiamo scrivere:

$\int_0 ^{\infty}r^2 dr \int_0 ^{\pi} \sin \theta d \theta \int_0 ^{2 \pi} \abs{\psi_{nlm}(r, \theta, \phi)}^2 d \phi= 1 \qquad \text{(5)}$

Per la parte angolare puoi verificare come :

$\int_0 ^{2\pi} d\phi \int_0 ^\pi d \theta \sin \theta Y_{l'm'} ^{\text{*}}(\theta, \phi) Y_{lm} (\theta, \phi) = \delta_{ll'} \delta_{m m'} \qquad \text{(6)}$

dove $\delta_{ij}$ è il delta di Kroenecker, che è definito semplicemente come $\delta_{ij} = 0 $ se $i \ne j$, $\delta_{ij} = 1$ se $i=j$.

quindi la normalizzazione della autofunzione totale si riconduce in realtà alla normalizzazione della sola autofunzione radiale:

$\int_0 ^{\infty} r^2 \abs{R_{nl}}^2 dr = 1 \qquad \text{(7)}$

e alla fine salta fuori $\text{(1)}$. Da quanto ti ho appena detto avrai intuito che la funzione $R_{nl}(r)$ altro non è che la "densità elettronica" in funzione della distanza dal nucleo $r$.
In particolare $r^2 \abs{R_{nl}}^2$ rappresenta² la densità di probabilità radiale per l'elettrone, ovvero la probabilità per unità di lunghezza che l'elettrone si trovi nel guscio sferico di raggi $r$ e $r+dr$ centrato sul nucleo. Questa informazione è estremamente importante, poiché ci consente di ricavare informazioni sulle proprietà e il comportamento dell'elettrone nell'atomo di H per diversi valori di $n$ ed $l$.

A titolo di esempio, in spoiler ti ho messo il grafico di $r^2 \abs{R_{10}(r)}^2$:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sulle ascisse, per la precisione, è $r/(a_0 /Z)$

Come vedi, in questo caso vi è un solo massimo, cosa che avviene ogni volta che $l= n-1$, e, guarda caso, nello stato fondemantale³ il punto in cui è più probabile trovare l'elettrone risulta essere a distanza $r= a_0$, il raggio di Bohr.
Ogni volta che vi è un solo massimo, esso si trova a $r_n ^{max} = n^2 a_0/Z$, nei casi in cui $l \ne n-1$ vi sono altri massimi "secondari", e così via si possono ricavare tutta una serie di informazioni circa il comportamento dell'atomo.
È importante che tu non confonda il raggio per il quale la probabilità di trovare l'elettrone è massima $r_max$, ovvero quello che abbiamo appena visto, con il valore medio $\bar{r}_{nl}$.

Apriamo un attimo una parentesi. Se non lo sapevi già, dalla $\text{(3)}$ avrai intuito che in meccanica quantistica vi è la leggerissima particolarità di poter fare solo previsioni probabilistiche. Prendiamo ad esempio il nostro beneamato atomo di idrogeno, magari pure nello stato fondamentale, e uno strumento che ci dica esattamente a che distanza dal nucleo si trova l'elettrone. Noi non saremo mai in grado di prevedere a che distanza $r$ troveremo l'elettrone nella prossima misurazione. L'unica cosa che possiamo dire è che, fatto un numero abbastanza grande di misure, l'elettrone si sarà comportato come in figura, avendo sì un picco per $r=a_0$, ma avendo una distanza dal nucleo media $\bar{r}_{nl} \ne a_0$.

Più in generale in meccanica quantistica, dato un sistema descritto dalla funzione d'onda $\psi$, ad ogni grandezza (per dirla ancora meglio, un'osservabile) $G$ si associa un operatore $\hat{O}$. Questo operatore agisce su $\psi$ e deve essere definito in modo tale che:

$\hat{O} \psi = g \psi \qquad \text{(8)}$

dove $g$ è autovalore della grandezza $G$ (e autovalore di $\hat{O}$, nel senso matematico del termine).

Il valore medio o valore di aspettazione della grandezza $g$ è dato da:

$\bar{g} = <g> =\int_V dV \psi^\text{*} \hat{O} \psi \qquad \text{(9)}$

dove $V$ è tutto lo spazio in cui sono definite le variabili di $\psi$. Questo vale anche per qualsiasi funzione dell'operatore $\hat{O}$

Giacché siamo arrivati fin qui, permettimi di introdurti anche il commutatore di due operatori $[,]
$, prima di riprendere il discorso.
Date due grandezze $A$ e $B$ con i rispettivi operatori $\hat{A}$ e $\hat{B}$, si definisce commutazione sui due operatori l'operazione:

$[\hat{A}$,$\hat{B}]=\hat{A}\hat{B} -\hat{B}\hat{A} \qquad \text{(10)}$

Se $[\hat{A},\hat{B}]=0$ si dice che gli operatori commutano e allora le due grandezze sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria.

Se $[\hat{A},\hat{B}] \ne 0$ si dice che gli operatori non commutano e allora le due grandezze non sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria ed esiste una relazione di incertezza tra le osservabili⁴ data da:

$\Delta A \Delta B >= \frac{<[\hat{A},\hat{B}] >}{2} \qquad \text{(11)}$

Ok, direi che come parentesi può bastare. Eravamo partiti con la ricerca del valore medio del raggio atomico in uno stato⁵ ${n,l}$, ora grazie alla $\text{(9)}$ abbiamo gli strumenti per calcolarlo, basta inserirvi la $\psi (r, \theta, \phi)$ che conosciamo noi, sapendo che l'operatore associato alla coordinata $r$ è esattamente $r$ stesso. Tutti i calcoli e le amenità varie te le lascio volentieri, le puoi andare a vedere su [2], mi limito a riportarti qua il risultato:

$\bar{r_{nl}} = \frac{n^2 a_0}{Z}{1+ \frac{1}{2}[\- \frac{l(l+1)}{n^2}] } \qquad \text{(12)}$

per farti apprezzare come sia effetivamente diverso da $r^{\text{max}}$, avendo sì una forte dipendenza da $n$ come quest'ultimo, ma con un'influenza anche del numero quantico orbitale $l$, seppur mitigata da quel $n^2$ al denominatore.

Mi sembra di aver detto un bel po' di roba. Ti dico che sinceramente avevo progettato di inserire anche una piccola parte sul momento angolare in questo capitolo, ma a questo punto mi sa che è meglio farlo al prossimo capitolo.

Per finire questa sezione sugli atomi ad un elettrone, oltre alla piccola parentesi sul momento angolare (e spin!) che sarà la prossima parte, direi che ci mancherà solo un altro capitolo sulle correzioni relativistiche (viste un po' meglio stavolta, anche per la gioia di Shackle ).

Abbiamo dunque quasi finito questo capitolo, ma non ti preoccupare, come diceva Frank Sinatra the best is yet to come!

Ci vediamo al prossimo capitolo

Indice

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Note

1. per ora ↑
2. ovviamente il segno di valore assoluto è superfluo, lo metto lo stesso perché mi rende la notazione un po' meno arzigogolata rispetto a $R_{nl}^2$ ↑
3. che è semplicemente un modo di chiamare lo stato di minima energia ↑
4. altro non è, udite udite, che una versione generale del Principio di Heisenberg ↑
5. ricorda che le autofunzioni radiali sono indipendenti dal numero quantico magnetico $m$ ↑

[Shackle]

Per finire questa sezione sugli atomi ad un elettrone, oltre alla piccola parentesi sul momento angolare (e spin!) che sarà la prossima parte, direi che ci mancherà solo un altro capitolo sulle correzioni relativistiche (viste un po' meglio stavolta, anche per la gioia di Shackle ).

Alla faccia del bicarbonato di sodio ! direbbe Totò !

Posso dirti una cosa? Il lavoro è senz’altro pregevole, ma io mi sono perso fin dal 15 ottobre. Troppe formule per me, amico mio, e non ho la cultura matematica e fisica adeguata per starci dietro! Non mi sembra tanto informale questo viaggio. Tu però hai il compito di continuare, visto che ti sei preso l’impegno, quindi non preoccuparti della mia crassa ignoranza.

[singularity]

Caro Shackle, se tu sei un crasso ignorante allora io cosa dovrei essere?

Purtroppo, un po' come quando ci si approccia per la prima volta alla Relatività Generale, è facile che la complessità dell'apparato matematico su cui è costruita la teoria oscuri l'effettivo contenuto fisico della teoria stessa. Sto cercando di equilibrare le due cose, ma, soprattutto all'inizio dovendo introdurre vari nuovi concetti, il compito è decisamente arduo. Mi sembra però strano che uno come te, che si destreggia abitualmente tra tensori vari, si lasci spaventare da qualche costante di normalizzazione un po' più brutta e un paio di operatori
Se ti va prova a dare una rilettura, per vedere se ad una seconda occhiata l'argomento risulti più scorrevole, e mi fai sapere.

In ogni caso grazie per la recensione, ne terrò conto! Stavo pensando che alla fine di tutto potrei fare una sezione finale in cui, per ognuna delle sezioni precedenti, vi è un capitolo in cui le cose spiegate in quella sezione vengono "usate", per analizzare effettivamente cosa si può fare con tutta questa roba.
Qualsiasi suggerimento o critica è ben accetto, così posso provare a rendere queste note un po' più gradevoli a seconda di quello che mi dite

p.s.
per le correzioni relativistiche (et al.) non ti aspettare chissà che (niente tensori! ). Spiattellerò lì l'equazione di Dirac, faccio qualche commento e magari mostro esplicitamente il calcolo di qualche perturbazione, vedremo...

[singularity]

Salve a tutti, come qualcuno avrà notato sono in mostruoso ritardo sulla pubblicazione degli ultimi capitoli. Purtroppo ho avuto due settimane decisamente piene, poiché ho iniziato a svolgere un'attività che mi consuma abbastanza tempo ed energie... Questo ovviamente non significa che la cosa finisce qui, semplicemente non fate più affidamento sul "pubblicare una sottosezione a settimana" perché non me la sento di promettervelo

Ma the show must go on, al più presto con il prossimo capitolo!

[singularity]

Salve appassionati di fisica. Come saprete c'è stato qualche problema tecnico del forum che ha causato la cancellazione di tutti i messaggi del forum dal 9/11 al 18/12 corrente anno.

Per quanto sia abbastanza triste questo "spreco" di messaggi, non nascondo che ciò mi ha fatto sentire meno in colpa per aver fatto passare così tanto tempo prima di pubblicare un altro capitolo, considerando che sarebbe andato tutto perso
Lo stupido sorriso sulla mia faccia si è dissolto nel momento in cui ho scoperto che anche le bozze dei messaggi erano state purgate da questo accaduto, essendovi tra queste il successivo capitolo quasi completo (non è che me ne sono stato completamente con le mani in mano!) in cui aprivo l'ultima parentesi che parlasse "puramente" di Meccanica Quantistica.

In ogni caso mi sta bene sia per aver tardato così tanto, sia per non aver avuto la premura di salvarmene un backup! Quindi al più presto con il prossimo capitolo! Cercherò di sfruttare questo periodo di vacanze¹ per infoltire un po' questi appunti.

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Note

1. Che per me vacanze non sono, ma vabbé ↑

[singularity]

Veloce (e ULTIMA) parentesi di MQ: Momento angolare e spin

Eccoci qua! Il tempo passa ma la passione per gli atomi non passa mai, vero?

È la seconda volta che scrivo questo capitolo, la prima versione è andata perduta, quindi probabilmente apparirò un po' sbrigativo, ma non ti preoccupare, nulla di importante sarà tralasciato.

Finora abbiamo appurato che un atomo ad 1 elettrone può essere descritto da una funzione d'onda $\psi_{nlm}$, dove ${n,l,m}$ sono tre numeri interi che possono assumere solo determinati valori. Abbiamo inoltre visto come il numero quantico principale $n$ sia legato all'energia dell'elettrone.

I rimanenti numeri quantici, $l$ e $m$, sono invece legati al modulo del momento angolare dell'elettrone e alla sua componente $z$ rispettivamente. In particolare:

\( \displaystyle \begin{cases} L= \sqrt{l(l+1)}\hbar \\ L_z = m \hbar \end{cases} \qquad \text{(1)} \)

Un piccolo riassunto su come arrivare al risultato qui sopra:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Quello che si fa è partire dalla definizione classica di momento angolare di una particella:

$\vec{L}= \vec{r} \times \vec{p}$

con (spero) ovvio significato dei simboli. Si sviluppano le espressioni delle componenti in coordinate cartesiane, e si sostituiscono le quantità $vec{p}$ e $\vec{r}$ con i rispettivi operatori ( \( \displaystyle -i \hbar \vec{\nabla} \) e $\vec{r}$ stesso).

Fatto ciò si passa in coordinate polari sferiche, e si inizia a giocare con i commutatori delle varie componenti e delle funzioni di essi. Quello che viene fuori è che le due grandezze veramente interessanti sono: il modulo quadro del momento angolare $L^2$, e una sola delle sue componenti (di solito si sceglie $z$) $L_z$.

L'interesse scaturisce dal fatto che:

$[\hat{L^2},\hat{L_z}]=0$

ovvero, se ti ricordi, le due grandezze sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria. Ciò non avviene provando a calcolare il commutatore di due componenti diverse tra loro (prova!).

A questo punto è possibile calcolare i valori di aspettazione di $L^2$ e $L_z$ utilizzando le espressioni dei rispettivi operatori (v. $\text{(9)}$ del capitolo precedente).

Ulteriori considerazioni (che non espongo qui perché è un RIASSUNTO) mostrano come le $\text{(1)}$ siano tutti e soli i valori che $L^2$ e $L_z$ possono assumere.

Quindi: Il modulo¹ del momento angolare e della sua componente $L_z$ sono quantizzati e sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria.

Altra cosa interessante: le componenti rimanenti, $L_x$ e $L_y$ in questo caso, oltre a non essere misurabili simultaneamente, non sono nemmeno quantizzate!

Se hai provato a riprodurre i passaggi descritti nello spoiler, durante il calcolo dei valori di aspettazione di $\hat{L^2}$ e $\hat{L_z}$ ti sarai imbattuto nelle due equazioni:

\( \displaystyle \begin{cases} \hat{L^2}\psi_{nlm}=l(l+1) \hbar^2 \psi_{nlm} \\ \hat{L_z} \psi_{nlm}=m \hbar \psi_{nlm} \end{cases} \qquad \text{(2)} \)

Che sono le celeberrime equazioni agli autovalori per il momento angolare, che ti avevo anticipato quando ci siamo imbattuti nelle armoniche sferiche. Se ci fai caso, infatti, né $\hat{L^2}$ né $\hat{L_z}$ agiscono sulla parte radiale di $\psi_{nlm}$ il che rende a tutti gli effetti le armonche sferiche $Y_{lm}(\theta, \phi)$ degne del titolo di autofunzioni del momento angolare.

Tutto questo è molto bello, ma anche molto classico. Che né è stato dello spin?

Per parlare dello spin penso sia conveniente, e istruttivo, che ti accenni all'esperimento di Stern e Gerlach².

Nel 1922 Mr Gerlach decise di fare un esperimento sparando degli atomi di argento attraverso un magnete, per la goia di Mr Stern, che l'aveva teorizzato un anno prima.

Oltre al divertimento di vedere atomi di Ag schiantarsi su una piastra metallica, lo scopo dell'esperimento era ben chiaro: misurare il momento angolare di tali atomi. Come mai si potrà fare una cosa del genere dici? Beh esso veniva misurato indirettamente tramite il momento di dipolo magnetico $\vec{\mu}$ dell'atomo.
Un atomo di Bohr può infatti essere considerato alla stregua di una spira grande come un'orbita di Bohr, di raggio $r$ e percorsa da una corrente: $i = e/T = \frac{ev}{2 \pi r}$.
Come sicuramente saprai una spira di superficie $S$ percorsa da una corrente $i$ possiede un momento di dipolo magnetico $\vec{\mu}$:

$\vec{\mu} = i S \hat{n} \qquad \text{(3)}$

dove $\hat{n}$ è il versore normale alla spira (regola della vite, bla bla bla...). Quindi il nostro bell'atomo di Bohr ha un modulo del momento magnetico dato da:

$\mu_l = iS = \frac{ev}{2 \pi r} \pi r^2= \frac{evr}{2} \qquad \text{(4)}$

dividendo primo e ultimo membro per la definizione del momento angolare $L=mvr$ otteniamo il rapporto:

$\mu_l /L=e/(2m) \qquad \text{(5)}$

che è solito scriversi anche come:

\( \displaystyle \frac{\mu_l}{L} = \frac{g_l \mu_b}{\hbar} \qquad \text{(6)} \)

dove \( \displaystyle \mu_b = \frac{e\hbar}{2m} \) è detto magnetone di Bohr³ e a volte viene usato come unità di misura per i momenti di dipoli atomici. In questo caso $g_l=1$ è un prototipo del fattore di Landé (ci arriveremo e non ti abituare alla semplicità di $g_l$, la questione si complicherà).

L'espressione $\text{(6)}$ è detta rapporto giromagnetico, ed è notevole come esso dipenda solo da costanti fisiche. Inoltre, se l'utilizzo di un atomo di Bohr e definizioni classiche ti avesse fatto storcere il naso, sappi che il rapporto $ \text{(5)}$ salta fuori anche facendo valutazioni esclusivamente quantistiche (e decisamente troppo sofisticate per questa sede) nel calcolo di $\mu_l$ e $L$.

Le conseguenze di ciò sono astronomiche⁴, poiché la $ \text{(6)}$, insieme alla conoscenza del fatto che $\vec{L}$ e $\vec{\mu_l}$ sono antiparalleli (la carica dell'elettrone è negativa) ci permette immediatamente di scrivere:

\( \displaystyle \vec{\mu_l} = -\frac{g_l \mu_b}{\hbar} \vec{L} \qquad \text{(7)} \)

Ma sappiamo già che $L$ e $L_z$ sono quantizzati e seguono le $ \text{(1)}$, quindi varrà la stessa cosa per $\mu_l$ e $\mu_{l_z}$, in particolare:

\( \displaystyle \begin{cases} \mu_l = g_l \mu_b \sqrt{l(l+1)} \\ \mu_{l_z} = -g_l \mu_b m_l \end{cases} \qquad \text{(8)} \)

E questa, mio caro, è (più o meno) la risposta a come si misura $L$ attraverso $\mu_l$.
Quando il signor Gerlach iniziò a sparare gli atomi d'argento nel magnete, in un setup che assomiglia a qualcosa del genere:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

non si trovò davanti la striscia continua che ci si sarebbe attesi classicamente, ma due punti ben distinti. Questo dava sì un boost di confidenza alle teorie quantistiche, ma ancora non si accordava quantitativamente con le predizioni fatte dalla teoria. In particolare, lo stesso esperimento ripetuto con atomi di Idrogeno mostrava anch'esso due punti ben distinti, quando in teoria sarebbe dovuto essere uno solo.

Questo era dovuto al fatto che si stava tralasciando "un pezzo" di momento di dipolo magnetico, dovuto a sua volta da "un pezzo" di momento angolare. Questo pezzo era in particolare lo spin dell'elettrone. Ora, non voglio iniziare una disquisizione sulle analogie più o meno sbagliate tra lo spin di un elettrone e quello di una palla che gira, quindi mi limito a dirti che:

L'elettrone possiede un momento angolare intrinseco $S$, detto Spin, che è completamente analogo al momento angolare orbitale visto prima: il modulo $S$ e la componente $S_z$ seguono le relazioni di quantizzazione:

\( \displaystyle \begin{cases} S = \sqrt{s(s+1)} \hbar \\ S_z = m_s \hbar \end{cases} \qquad \text{(9)} \)

Lo spin è quindi responsabile del "pezzo mancante" di momento magnetico, che è detto momento di dipolo magnetico di spin $\vec{\mu_s}$, analogamente a $\mu_l$ si ha:

\( \displaystyle \begin{cases} \vec{\mu_s} = -\frac{g_s \mu_b}{\hbar} \vec{S} \\ \mu_{s_z} = - g_s \mu_b m_s \end{cases} \)

Abbiamo così risolto il mistero dello spin perduto e incontrato altri due simpatici numeri quantici: $s$ e $m_s$. Come detto essi seguono regole analoghe a quelle di $l$ e $m$, inoltre si ha⁵ $g_s=2$.

Per ora direi che basta, spero di averti intrattenuto e/o innescato la tua curiosità
Il prossimo capitolo voleva essere sulle varie correzioni perturbative all'equazione di Schroedinger, ma visto l'andazzo potremmo anche passare direttamente agli atomi a due elettroni, in ogni caso, ci vediamo presto.

Ah, nel caso ti sentissi un po' smarrito sullo spin... Ti lascio qui un piccolo suggerimento (facciamo vedere che siamo ggiovaniiiiiii!!)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Indice

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Note

1. se $L^2$ è quantizzato allora anche $L$ lo è ↑
2. Per il quale, come al solito, ti invito ad approfondire per conto tuo ↑
3. ed ha una delle notazioni più infelici della storia della fisica, mi ci atterrò perché è quella più usata ↑
4. o dovrei dire atomiche? ↑
5. per ora prendi questi valori così come vengono, più avanti ci capiremo meglio ↑