The Planck series: Un viaggio informale all'interno della Materia

[Shackle]

È solo un errore di strazione ! Hai cominciato benissimo, invece. Devo finire di leggere.

[singularity]

Cenni sul modello di Wilson-Sommerfeld

L'ultima volta ci siamo lasciati con un cliffhanger degno di Bryan Singer: ogni riga dello spettro di emissione dell'atomo di idrogeno¹ è in realtà composta da più righe, molto più vicine tra loro rispetto a quelle dello spettro originario. Ti prego di perdonarmi per la piccola menzogna che ti ho raccontato all'inizio (ti assicuro che era a fin di bene ) e di continuare questo viaggio con me.

Se ti ricordi, c'era la questione di capire in maniera un po' più completa da cosa derivasse (oltre che dalla testa di Bohr) la quantizzazione del momento angolare di un atomo. Ebbene, il proseguio del nostro viaggio comprende proprio la risoluzione di questi quesiti. Ripartiamo!

Una cosa che avrei dovuto accenarti, ma che probabilmente già sai, è che il problema di trovare grandezze fisiche quantizzate nella risoluzione di problemi fisici fu già incontrato da Planck nel 1900 (l'anno esatto, non c'è l'apostrofo!).
Senza entrare nei dettagli del problema, Planck si accorse che in un Corpo Nero (se non sai cos'è vallo a cercare un attimo) in cui fossero presenti oscillatori armonici (se non sai cosa sono forse non dovresti leggere queste note), l'energia dei suddetti oscillatori armonici doveva essere quantizzata affinché le previsioni sulla natura della radiazione emessa dal corpo nero si accordassero con i dati sperimentali. In particolare ogni oscillatore armonico poteva avere solo energie date da:

$E=n h \nu$

dove $n$ è un intero, $\nu$ è la frequenza dell'oscillatore e $h$ sai benissimo che cos'è (non è tagliata).

Ti ricorda niente?

Questo che lui, come ci racconta la storia, definì semplicemente un artificio matematico, fu poi uno dei pilastri della fondazione della Meccanica Quantistica.

Ora immagino che ti starai chiedendo perché io ti abbia fatto tutto questo excursus, chissenefrega di corpi neri pieni di oscillatori armonici, quando mai ne incontrerò uno nella vita reale? (Su amazon ho cercato e, in effetti, non li vendono).

Beh, caro il mio polemico, sappi che ti ho spiegato questa cosa perché il prossimo argomento che andrò ad accennarti è il modello atomico di Sommerfeld, e, prima ancora di esso, ti parlerò della Regola di quantizzazione di Wilson-Sommerfeld, che ha il pregio (rullo di tamburi please) di ritrovare sia la regola di quantizzazione di Bohr (momento angolare) che la regola di quantizzazione di Planck (energia) come casi particolari.

Non indugiamo oltre. Nel 1916 Wilson e Sommerfeld enunciarono la seguente regola di quantizzazione:


"In ogni sistema fisico in cui le coordinate siano funzioni periodiche del tempo, esiste una regola di quantizzazione per ciascuna delle coordinate, data nella forma:

$oint p_q dq=n h$

dove $q$ è una delle coordinate in questione, $p_q$ ne è il relativo momento coniugato, $n$ è un intero (numero quantico) e l'integrazione va fatta su un periodo della coordinata $q$"².

Ora fermiamoci un attimo. Se non sai cos'è un momento coniugato, o hai rabbrividito alla vista del $\oint$, non scappare che risolviamo tutto. Per quanto non sia mia intenzione farti un crush course in meccanica analitica, possiamo procedere insieme a ricavare le due regole di quantizzazione e ti spiegherò³ quello che ti serve
Se invece sai benissimo cos'è un momento coniugato e compagnia bella, ignora tutto ciò che ho scritto qui sopra

Per il resto, direi che la regola si commenta da sola, quindi iniziamo a vedere come ricavare la quantizzazione dell'energia di un oscillatore armonico.

Quantizzazione di Planck:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Immagino (spero) che tu sappia che l'energia di un oscillatore armonico in una dimensione si può scrivere in funzione del momento⁴ $p$ e della coordinata $x$ come:

$E = p^2/(2m) + kx^2 /2$

dove il primo addendo rappresenta l'energia cinetica e il secondo l'energia potenziale del sistema. Ora, essendo l'oscillatore armonico un sistema periodico, ed essendo $p$ il momento coniugato della coordinata $x$ (te lo dico io), la regola di quantizzazione in questo caso riporta:

$\oint pdx= n h$

posa quelle tavole d'integrazione, perché andiamo per vie geometriche. Non ci vuole infatti un algebrista per capire che l'equazione dell'energia scritta come:

$p^2 /(2mE) + x^2/((2E)/k) = 1$

è l'equazione di un'ellisse nel piano $(x,p)$, con semiassi $a=sqrt(2mE)$ e $b=\sqrt((2E)/k)$

Dunque la risoluzione dell'integrale si riconduce alla determinazione dell'area dell'ellisse (che è $\pi a b$), otteniamo quindi:

$\oint pdx= \pi sqrt(2mE) sqrt((2E)/k)=2\pi E sqrt(m/k) = (E)/( \nu) $

L'ultima uguaglianza data dal fatto che in un oscillatore armonico $\sqrt(k/m) = \omega = 2\pi \nu$, con ovvio significato dei simboli.

Per la regola di Wilson-Sommerfeld il valore dell'integrale deve essere uguale a $n h$, quindi otteniamo:

$E= n h \nu$

Che è esattamente l'equazione di Planck.

Come vedi il ragionamento fila che è un piacere, non è rocket science (non ancora almeno), e abbiamo ricavato il principo di quantizzazione dell'energia da un principio generale (la cosa dovrebbe renderti contento!).

Ricavare la condizione di quantizzazione del momento angolare in un atomo di Bohr è ancora più semplice (non te lo metto neanche in spoiler).
Prendiamo infatti un nucleo con un elettrone che vi ruoti intorno in un'orbita circolare: la coordinata angolare $\theta$ è certamente periodica. Essendo il momento angolare $L$ anche il momento coniugato della coordinata $\theta$ (chi l'avrebbe mai detto?), la regola di quantizzazione si scrive come:

$\oint L d\theta = n h$

Il primo membro si risolve volgarmente come: $\oint L d\theta = L \oint d\theta = L 2 \pi$, ottenendo così subito la regola di quantizzazione di $L$:

\( \displaystyle L = n\frac{h}{2\pi} = n \hbar \)

ah, mi ero dimenticato di dirti che ho imparato a scrivere \( \displaystyle \hbar \)

Dopo aver sparso un po' di luce sulla questione delle regole di quantizzazione, ci rimane da risolvere il problema con cui abbiamo iniziato questo capitolo: la struttura fine dello spettro energetico di un atomo.
Nel caso ti fossi distratto, avevamo scoperto che le linee dello spettro (ad esempio) dell'idrogeno erano composte a loro volta da altre linee. Questo sta a significare che quello che si pensava essere un singolo livello energetico è in realtà composto da diversi livelli molto vicini fra loro.

Per far fronte a questo problema, o, detto in modo più figo, per risolvere la degenerazione, il caro Sommerfeld decise di applicare la sue regole di quantizzazione ad un ipotetico atomo in cui l'elettrone seguisse un'orbita ellittica. Combinando ciò con l'imposizione della stabilità meccanica dell'atomo, riusci a calcolare come dovessero essere fatte queste ellissi, ovvero i valori dei semiassi $a$ e $b$, e che energia dovesse avere un elettrone che percoresse tali orbite.

Tralasciando i vari calcoli e ragionamenti (guarda il titolo del capitolo: c'è scritto cenni!), ti riporto i valori che ottenne Sommerfeld per le energie delle orbite, con tanto di correzione relativistica⁵:

\( \displaystyle E = - \frac{\mu Z^2 e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 2 n^2 \hbar ^2 }[1 + \frac{\alpha^2 Z^2}{n}( \frac{1}{n_\theta} - \frac{3}{4n})] \)

Commentiamo un po' questa mostruosità dell'estetica. Aldilà dei simboli dal significato ovvio troviamo $\alpha$, che è una costante detta costante di struttura fine, non basterebbero 1000 parole per spiegarti l'importanza che ha in fisica (e quante volte la ritroverai!) quindi, come al solito, se sei interessato puoi andartela a cercare.
L'altra cosa degna di nota è che adesso abbiamo due numeri quantici: $n$ e $n_\theta$ (l'avevi notato, vero?), dove $n = 1,2,3...$ e $n_\theta = 1,2,... \quad n$

Questo vuol dire che lo stato di un elettrone, in questo modello e a questo livello di conoscenza, non è più descritto dal solo numero quantico $n$, ma dalla coppia di numeri $n$ e $n_\theta$.
In particolare, dato un valore di $n$, ci sono $n$ valori di $n_\theta$ (ovvero $n$ orbite diverse), in cui il caso particolare di orbita circolare si ha per $n_\theta = n$.

Siccome mi sembri un po' confuso (probabilmente non mi sono spiegato bene), e siccome le immagini spesso spiegano meglio di qualunque cosa, eccoti una bella immaginina con tanto di didascalia, presa direttamente da [2], che dovrebbe aiutarti a comprendere un po' meglio la situazione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[img]

Come suggerisce la didascalia, non tutte le transizioni possibili sono effetivamente osservate. In particolare si sono osservate solo transizioni che rispettino la seguente Regola di selezione (abituatici, perché ne incontreremo!):

$n_(\theta_i) - n_(\theta_f) = \pm 1 $

dove i pedici (dei pedici) si riferiscono allo stato iniziale e finale della transizione.

Mi rendo conto che è stato un capitolo faticoso e forse un po' confusionario, ma spero che tu sia riuscito a capire come tutto questo ambaradan sia servito a spiegare la struttura fine dello spettro di emissione dell'idrogeno.

Noi ci vediamo alla prossimo capitolo (Atomi a 1 elettrone, suona così innocente, non vedo l'ora... )

Indice

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Note

1. Chiariamo: dico "atomo di idrogeno" perché è l'atomo più semplice e abbiamo iniziato con lui. Sappi però che la maggior parte delle cose che ti sto dicendo valgono per tutti gli atomi (specialmente riguardo a spettri di emissione/assorbimento) ↑
2. $h$ non te lo sto neanche più a dire cos'è ↑
3. Intanto se vuoi un po' di formalità ti accontento: Dato un sistema descritto dalle coordinate e velocità generalizzate ${q_k, \dot{q}_k}$, il momento coniugato rispetto alla coordinata $q_k$, è definito come $p_k=(partial \mathcal{L})/(partial \dot(q_k))$, dove $\mathcal(L)$ è la lagrangiana del sistema ↑
4. Quando dico momento intendo quantità di moto, consentimi di anglicizzare per semplicità ↑
5. Per approfondimenti vedi questo post ↑

[Shackle]

Ciao. Ho letto tutto, e quello che è più strano è che ho pure capito !
È scritto anche con humor, il che non dispiace. Una sola cosa non ho capito, la correzione relativistica nella formula di E . La nota 2 non aiuta molto...e meno male che non ci sono esperimenti mentali qui!

[singularity]

Ciao Shackle, fa piacere sapere che qualcuno legge!

Purtroppo i testi a cui faccio riferimento non approfondiscono il metodo usato da Sommerfeld per calcolare le sue soluzioni relativistche, per questo mi sono limitato ad accennarlo. Non ti preoccupare però, mi sono messo a cercare un paio di articoli :

Intanto è degno di nota il fatto che il metodo usato da Sommerfeld (che non tiene conto dello spin e quindi dell'interazione spin-orbita), restituisca gli stessi valori di energia che restituirà un metodo un po' più avanzato e che vedremo fra un po', ovvero il trattare pertubativamente l'hamiltoniana classica aggiungendole vari (tre) termini correttivi che tengono appunto conto dello spin e di effetti relativistici.

Nella mia rapida ricerca mi è sembrato di capire che questo sia dovuto ad un'ipotesi errata nel metodo di Sommerfeld, che però poi ha portato a un risultato corretto (quante volte!).

Detto ciò:

Qui c'è l'articolo originale di Sommerfeld, però è un mattone di 94 pagine in tedesco;

Qui c'è un libro scritto da lui (in inglese), l'argomento viene trattato in pag 467 e seguenti;

Qui anche viene trattato l'argomento e si fa riferimento alla curiosità che dicevo prima.

[Shackle]

Grazie per i link, ci guarderò. In quanto ai lettori, penso che più di uno legga, o almeno clicca, ma è materia in cui è difficile fare dei commenti. A me viene da dire che stai facendo un lavoro egregio, e il forum dovrebbe esserti grato.

[singularity]

Pausa di riflessione sulla teoria di Schroedinger

Fino ad ora abbiamo incontrato tre modelli atomici: quello di Rutherford, quello di Bohr e quello di Sommerfeld. Il primo fece apprezzare come l'atomo fosse principalmente vuoto e formato dal nucleo, carico positivamente, e da elettroni che vi "orbitano" intorno.
Il secondo ebbe il pregio di dare un volto all'emissione di luce, in quantità discrete, da parte di atomi che si diseccitavano e diede le prime giustificazioni sulla natura quantistica delle grandezze in gioco.
Il modello di Sommerfeld infine diede ragione della struttura fine dell'atomo di Idrogeno, fallendo però appena si aumentasse il numero di elettroni. Inoltre non era in grado di prevedere il numero di linee né di spiegarne l'intensità e, come se non bastasse, falliva nel descrivere fenomeni già noti all'epoca e di cui non abbiamo parlato (effetto Stark ed effetto Zeeman).

Tutti questi modelli hanno in comune, oltre al fatto di descrivere in maniera incompleta i fenomeni osservati, il fatto di utilizzare ipotesi costruite ad hoc per spiegarli.
Nel 1925 Erwin Schroedinger venne in soccorso dei suoi colleghi formulando la sua (a dir poco) famosa equazione.

Ora, prima di continuare, dobbiamo parlare di una cosa. In questi appunti, come ho detto voglio parlare un po' di Fisica della Materia, che però al suo interno utilizza la Meccanica Quantistica. Nonostante ti abbia parlato di alcune cose di base, i più esperti avranno notato che non ho parlato di un sacco di cose, primo fra tutti il Principio di Indeterminazione di Heisenberg, non mi sono soffermato neanche un po' sulla natura corpuscolare-ondulatoria dei quanti, né ti ho (ancora) parlato di importantissimi esperimenti che vennero fatti all'epoca, e così mille altre cose. Questo è dovuto appunto al fatto che questi sono appunti di Fisica della Materia, non puramente di Meccanica Quantistica quindi, per quanto non mi piaccia dare per scontata la conoscenza di certi argomenti da parte tua, non posso¹ farti un corso accelerato di MQ. Ovviamente, nel caso la tua sete di conoscenza fosse così potente da impedirti di continuare senza aver studiato per bene questi concetti, nei riferimenti bibliografici (e innumerevoli altri testi, appunti, video eccetera) è spiegato tutto per filo e per segno (più su [2] che su [1]).

In ogni caso, ora che parleremo dell' Equazione di Schroedinger e funzioni d'onda, e come per il resto di queste note, cercherò sempre di spiegare un minimo i concetti che utilizzo.

Senza indugiare oltre, ripartiamo!

Non credo che ci sia modo migliore per iniziare che mostrarti subito l'Equazione di Schroedinger:

\( \displaystyle -\frac{\hbar ^2}{2 \mu} \nabla^2\Psi(\vec{x},t) + V \Psi(\vec{x},t) = i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{x},t)}{\partial t} \qquad \text{(ES)} \)

Ora, tenendo in mente che questa equazione sta ad un fisico come l'Ave Maria sta ad un prete, andiamola a commentare un po'.

I più scaltri avranno già notato come questa sia un'equazione alle derivate parziali e, se sono davvero così scaltri, probabilmente stanno già per chiudere tutto e andare su YouTube.

NON FATELO! Per quanto i video di gatti che suonano il piano siano interessanti, ti prometto che la suddetta equazione differenziale verrà semplificata notevolmente, prima "eliminando" la parte temporale e poi riducendo le dimensioni spaziali da tre ad una sola.

Questa equazione descrive l'evoluzione dell'oggetto $\Psi$, detto FUNZIONE D'ONDA e funzione delle coordinate $\vec{x} = (x,y,z)$ e del tempo $t$.
Ogni stato di un sistema quantistico è descritto da una funzione d'onda, che, di per sé, non ha un vero e proprio significato fisico.
Ci si mise un po' a capire che la quantità interessante è il modulo quadro della funzione d'onda, $\abs{\Psi}^2$, che rappresenta la densità di probabilità dello stato sulle posizioni e nel tempo.

Detto in modo più semplice, se abbiamo uno stato di un atomo di idrogenoide, magari anche indipendente dal tempo, descritto dalla Funzione d'onda $\Psi(\vec(x))$, la probabilità di trovare il singolo elettrone in un volume $d\tau = dx dy dz$ è data da:

$P(\text{elettrone all'interno di }d\tau)=\abs{\Psi}^2 d\tau$

Se ancora non ti risulta chiarissimo non temere: nei prossimi capitoli ci addentreremo abbastanza in questi concetti, partendo con il risolvere la $\text{(ES)}$ per l'atomo di idrogeno.

Continuando a commentare la $\text{(ES)}$, avrai notato la presenza di $V$, che è un potenziale e che, generalmente, può essere funzione sia delle coordinate che del tempo. Se hai già esperienza di Meccanica Quantistica, sarai familiare con la risoluzione dell' $\text{(ES)}$ per i potenziali più disparati, buche, colline, barriere infinite ecc.
Io ovviamente non mi addentrerò in nulla di tutto ciò, poiché in questi appunti ci interessa la risoluzione dell'equazione per un ben preciso potenziale².

Ora, prima di concludere questa pausa di riflessione, è bene portarci un po' avanti con l'$\text{(ES)}$ e farla diventare la $\text{(ESIT)}$, ovvero l'Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo.
Per procedere dobbiamo premurarci di prendere potenziali che non dipendano dal tempo, in modo da poter scrivere l'equazione come:

\( \displaystyle -\frac{\hbar ^2}{2 \mu} \nabla^2\Psi(\vec{x},t) + V(\vec{x}) \Psi(\vec{x},t) = i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{x},t)}{\partial t} \)

Fatto ciò, cerchiamo soluzioni nella forma: $\Psi(\vec{x},t)= \psi(\vec{x}) \phi(t)$, verificando a posteriori se ciò si rivelerà corretto, perché siamo fisici.

Inserendo questa espressione nell'equazione otteniamo:

\( \displaystyle [-\frac{\hbar ^2}{2 \mu} \nabla^2\psi(\vec{x}) + V(\vec{x}) \psi(\vec{x})]\phi(t)= i \hbar \frac{d\phi(t))}{d t}\psi(\vec{x}) \)

Riarrangiando i termini, senza alcun pudore matematico, otteniamo:

\( \displaystyle \frac{1}{\psi(\vec{x})}[-\frac{\hbar ^2}{2 \mu} \nabla^2\psi(\vec{x}) + V(\vec{x}) \psi(\vec{x})]= i \hbar \frac{1}{\phi(t)}\frac{d\phi(t)}{d t} \)

Come avrai sicuramente notato, siamo riusciti a separare le variabili, poiché il primo membro dell'equazione dipende solo da $\vec{x}$ e il secondo solo da $t$. Questo significa che affinché i due membri, indipendenti fra loro, siano sempre uguali, entrambi devono essere uguali ad una costante, che chiameremo $E$³.
Questo fa sì che l'equazione in funzione di $t$ sia risolta banalmente:

\( \displaystyle i \hbar \frac{d\phi(t)}{d t} = E \phi(t) \quad -> \phi(t) = \exp(-\frac{iEt}{\hbar}) \)

A questo punto, essendo la funzione d'onda completa $\Psi(\vec{x}, t) = \psi(\vec{x}) \phi(t)$, noi ci interesseremo alla soluzione dell'equazione:

\( \displaystyle -\frac{\hbar ^2}{2 \mu} \nabla^2\psi(\vec{x}) + V(\vec{x}) \psi(\vec{x}) = E \psi(\vec{x})\quad \text{(ESIT)} \)

Che è esattamente l' Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo. In particolare, nel prossimo capitolo, ci interesseremo alla soluzione della $\text{(ESIT)}$ quando il potenziale $V(\vec{x})$ è il potenziale di Coulomb.

Prima di salutarci, voglio ribadirti per un'ultima volta come questo capitolo sia stata solo un'infarinatura-solo per avere un'idea-incompleta-eccetera-eccetera della meccanica quantistica. Malgrado il titolo, non ti ho fatto l'introduzione di un bel niente, se non un rapido accenno a concetti che useremo in questi appunti. Non ti ho detto da dove è venuta fuori la $\text{(ES)}$, quindi le restrizioni sulle possibili funzioni d'onda e tante altre cose.
Comunque, per procedere più o meno agevolmente in questi appunti, ti basta quello che ti ho detto finora: sapere cos'è l'equazione di Schroedinger e avere un'idea di cosa sia una funzione d'onda.

Ci vediamo al prossimo capitolo :

Indice

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Note

1. Né sono la persona più adatta a farlo ↑
2. Riesci a immaginare quale? ↑
3. spoiler: è l'energia dello stato. ↑

[singularity]

Al più tardi domani posto il prossimo capitolo (Soluzione dell'ESIT per l'atomo di idrogeno). Mi scuso con i lettori, che immagino saranno spossati da questa lunga attesa , ma ho avuto diverse cose da fare nel "mondo reale". Mi farò perdonare cercando di pubblicare un po' più celermente le parti successive!

[singularity]

Soluzione dell'ESIT per l'atomo di idrogeno

"Per me si va ne la città dolente,
per me si va ne l’etterno dolore,
per me si va tra la perduta gente.

[...]

dinanzi a me non fuor cose create
se non etterne, e io etterno duro.
Lasciate ogne speranza, o voi ch’ intrate."

-Inferno, Canto III

Bentornato! Quale modo migliore di accoglierti, se non con l'incoraggiante incisione che Dante trova sulla porta dell'inferno? Ti sembrerà fuori luogo, secondo me invece è un paragone più che azzeccato: la discussione delle soluzioni dell' ESIT per l'atomo di idrogeno è esattamente la porta di ingresso per lo studio della vera e propria struttura della materia!¹ Orsù non stiamo a cincischiare oltre e ripartiamo!

L'ultima volta ci siamo lasciati con l'introduzione dell'equazione di Schroedinger indipendente dal tempo:

\( \displaystyle -\frac{\hbar ^2}{2 \mu} \nabla^2\psi(\vec{x}) + V(\vec{x}) \psi(\vec{x}) = E \psi(\vec{x})\quad \text{(ESIT)} \)

e ci siamo detti che, per capire attraverso di essa cosa accada dentro un atomo di idrogeno, dobbiamo studiare le soluzioni $\psi(\vec(x))$ e i relativi autovalori di energia $E$, dato come potenziale quello di Coulomb.
Per fare ciò, chiaramente, dobbiamo prima risolvere l'equazione. Il potenziale di Coulomb, in coordinate cartesiane, da:

$V(x,y,z) = (-Z e^2)/(4 \pi \varepsilon_0) 1/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))\qquad \text{(1)}$

dove $Z$ è il numero atomico. Ora tu mi dovresti dire: "Ma non siamo parlando dell'atomo di Idrogeno, quindi dovrebbe essere sempre $Z=1$?", e io ti dovrei rispondere: "Bravo! Si vede che stai attento!".

Facciamo finta che tutto ciò sia successo, vorrei solo sottolinearti che il metodo di risoluzione che ti andrò brevemente a esporre è valido per qualsiasi atomo ad 1 (uno!) elettrone, quindi potremmo anche star parlando, ad esempio, di uno ione di Litio in cui $Z=2$ o comunque, più in generale, di un atomo idrogenoide.

Ci piacerebbe molto, per risolvere l' \( \displaystyle \text{(ESIT)} \) , fare un lavoro di separazione delle variabili analogo a quello fatto per separare la parte spaziale e quella temporale nell' \( \displaystyle \text{(ES)} \) .

Come avrai notato, il potenziale di Coulomb in coordinate cartesiane fa abbastanza schifo come candidato per questa operazione, dobbiamo quindi passare in coordinate polari sferiche, eliminando la scomodità nel seguente modo:

$1/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) \rarr 1/r$

e facendo attenzione a cambiare coordinate anche per l'operatore $\nabla^2$ (tranquillo, su Wikipedia c'è tutto).

Una volta fatto questo possiamo cercare delle soluzioni $\psi(r,\theta,\phi)$ nella seguente forma:

\( \displaystyle \psi(r,\theta,\phi)= R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\quad \text{(2)} \)

si, lo so, i fisici hanno un sacco di fantasia nel dare nomi alle cose, ma non distraiamoci!!

Fatti i dovuti cambi di variabile, se inserisci la \( \displaystyle \text{(2)} \) nella \( \displaystyle \text{(ESIT)} \) , otterrai tre equazioni "indipendenti"², in particolare il problema è stato ricondotto alla risoluzione di tre equazioni differenziali ordinare! Sei contento?

Nella parte che segue non vorrei concentrarmi sui passaggi, matematici e fisici, utilizzati per risolvere le equazioni, si trovano in [1], [2] e un miliardo di altri posti.
Per dimostrarti però che questa decisione non è (solo) frutto della mia pigrizia, ripercorriamo velocemente i suddetti passaggi.

Inserendo soluzioni della forma \( \displaystyle \text{(2)} \) nella \( \displaystyle \text{(ESIT)} \) , le derivazioni parziali diventano derivazioni totali (abbiamo TRE funzioni ad UNA variabile), è possiamo fare la prima suddivisione:

\( \displaystyle \frac{1}{\Phi} \frac{d^2 \Phi}{d \phi^2}= -\frac{\sin^2 \theta}{R}\frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR}{r})-\frac{\sin \theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}(\sin \theta \frac{d\Theta}{d\theta})- \frac{2 \mu}{ \hbar^2}r^2 \sin^2\theta [E-V(r)]\quad \text{(3)} \)

Avrai notato come il primo membro dell'equazione dipenda solo da $\phi$, mentre il secondo solo da $r$ e $\theta$. Esattamente come quando abbiamo separato le variabili nell' \( \displaystyle \text{(ES)} \) , possiamo porre entrambi i membri uguali a una costante, che per comodità chiameremo $-m ^2$.
Fatto ciò possiamo separare le variabili del secondo membro eguagliato a $-m^2$, ottenendo un membro che dipende solo da $r$ e uno che dipende solo da $\theta$. Di nuovo, possiamo eguagliarli entrambi a una costante, che stavolta chiameremo $l(l+1)$.

Così facendo abbiamo ricondotto il problema alla soluzione del seguente sistema di equazioni differenziali:

\( \displaystyle \begin{cases}
\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}= -m^2 \Phi \\ -\frac{1}{\sin \theta}\frac{d}{d\theta}(\sin\theta \frac{d\Theta}{d \theta}) + \frac{m^2 \Theta}{\sin^2 \theta} = l(l+1) \theta\\ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR}{dr}) + \frac{2 \mu}{\hbar ^2}[E-V(r)]R = l(l+1)\frac{R}{r^2}
\end{cases}\quad \text{(4)} \)

Prima di far finta di averle risolte, spendiamo un secondo sulle costanti $m$ ed $l$. L'equazione di $\Phi(\phi)$ è banale ed ha come soluzione particolare:

\( \displaystyle \Phi(\phi)= e^{i m \phi} \)

Occhio che l'esponente non è la parte immaginaria di $\phi$ (non avrebbe senso), ma è $i * m * \phi$.
Ora, poiché $\phi=0$ e $\phi= 2 \pi$ sono lo stesso angolo, e poiché ci piacerebbe che $\Phi$ si comportasse da funzione per bene, è necessario imporre che essa abbia lo stesso valore in entrambi i casi: $\Phi(0) = \Phi(2 \pi)$. Questo ci dà delle condizioni sui valori di $m$, come mostrato qua sotto:

\( \displaystyle \Phi(o)=\Phi(2\pi) -> e^{im 0} = e^{i m 2\pi} -> 1 = \cos(m 2\pi) + i \sin(2 \pi) \)

la condizione su $m$ è quindi:

$\abs{m} = 0, 1, 2, 3,...$

Ragionamenti simili, ma un po' più intricati, portano alle condizioni sui valori di $l$:

$l= \abs{m}, \abs{m} +1, \abs{m}+2,...$

e alla risoluzione dell'equazione in $\Theta$. Per ora ti basti sapere che le soluzioni $\Phi(\phi)$ e $\Theta(\theta)$ sono spesso scritte nella forma:

$\Y_{lm} (\theta, \phi) = \Theta_{lm}(\theta) \Phi_m(\phi)\quad \text{(5)}$

è sono dette Armoniche Sferiche.

Nel prossimo capitolo farò un breve sunto sulla particolarità del momento angolare in meccanica quantistica e sul perché la parte angolare si scriva nella forma $\text{(5)}$ (la versione corta è che le $\text{(5)}$ sono simultaneamente autofunzioni di $\hat{L^2} $ e $\hat{L_z}$, ma ci arriveremo).

Per quanto riguarda ultima delle $(4)$, l'equazione di Schroedinger radiale, la sua soluzione è quantomai laboriosa, per cui mi limito a riportartene le soluzioni, tenendo presente che, dati i valori di $l$ ed $m$ ottenuti dalle considerazioni precedenti, si hanno soluzioni fisicamente accettabili solo per determinati valori dell'energia totale $E_n$, in particolare solo per:

\( \displaystyle E_n = -\frac{\mu Z^2e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 2 \hbar^2 n^2}\quad \text{(6)} \)

dove $n$ può assumere solo i valori: $n= l+1, l+2, l+3,....$

e le soluzioni $R_{nl}(r)$ possono essere scritte come:

\( \displaystyle R_{nl}(r) = e^{(-Zr)/(n a_0)} (Zr/a_0)^l G_{nl}(Zr/a_0)\quad \text{(7)} \)

.

Dove $G_{nl}((Zr)/a_0)$ sono funzioni polinomiali in $((Zr)/a_0)$, che cambiano forma a seconda dei valori di $n$ ed $l$, conosciuti come Polinomi di Laguerre generalizzati.

La costante $a_0$ è detta Raggio di Bohr ed è una delle grandezze di riferimento in meccanica quantistica, ha il valore del raggio dell'orbita più interna di un atomo di Idrogeno (di Bohr) e si può scrivere come:

\( \displaystyle a_0= (4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2)/\mu e^2\quad \text{(8)} \)

Come hai potuto notare quindi, malgrado gli autovalori di energia $E_n$ dipendano solo dal numero quantico principale $n$, le autofunzioni $Y_{lm}(\theta, \phi)$ e $R_(nl)(r)$ dipendono anche dal numero quantico orbitale $l$ e dal numero quantico magnetico $m$.

Va da sé quindi che uno stato quantomeccanico descritto da un'autofunzione completa $\psi(r,\theta,\phi)= R_(nl)(r) Y_{lm}(\theta, \phi)$ sia definito dai 3 (TRE!) numeri quantici ${n,l,m}$. Immagino che ciò non ti colga di sorpresa, essendo appunto TRE le variabili indipendenti nell' $\text{(ES)}$.

Direi che posso concludere questo capitolo facendoti osservare, se non l'hai già notato, come gli autovalori di energia $\text{(6)}$, trovati da Schroedinger con tanta fatica, corrispondano esattamente agli autovalori trovati dal buon Niels Bohr per il suo atomo di idrogeno. Non mi guardare così, non è stato tutto lavoro inutile! Sicuramente ci fa piacere che i due valori coincidano, ma con il metodo di Schroedinger potremmo affrontare situazioni ben più complicate di ciò che abbiamo visto finora!

Ci vediamo al prossimo capitolo, dove daremo un'occhiata alle autofunzioni complete dell'atomo di Idrogeno e completeremo il discorso sulle armoniche sferiche, facendo due chiacchiere sul momento angolare in meccanica quantistica.

"E quindi uscimmo a riveder le stelle."

Indice

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Note

1. per l'etterno dolore è sufficiente pazientare fino agli atomi a due elettroni. ↑
2. Alla fine capirai il perché delle virgolette ↑

[ralf86]

Grazie Singularity, è in piacere leggere le tue note

[singularity]

Grazie a te, ralf86! Mi scalda il cuore sapere che c'è chi si intrattiene leggendole.

A breve pubblico la prossima parte