Approssimazione distanze

[eternauta]

E' così stupida la mia ultima domanda? Che non ho più ricevuto risposte

[ingres]

Tranquillo la domanda non è stupida, ma il problema è che @Quinzio ti ha già risposto a fondo e quindi non è semplice aggiungere ulteriori considerazioni alle sue.
Comunque, credo che i dubbi nascano dal fatto di voler dare un'interpretazione avulsa dal problema in oggetto, quando @Quinzio ha già chiarito che la scelta del grado di approssimazione dipende proprio dal problema stesso.

Cerco di spiegarmi meglio. Lo sviluppo di $r_(PQ)$ è composto da infiniti termini, ovvero

$r_(PQ) = r_(PO)*(1 - d/r_(PO)*cos(theta) + 1/2 (d/r_(PO))^2*sin^2(theta) + ....)$

Quindi la domanda è: dove mi devo arrestare nel riportare i termini dello sviluppo?

E la risposta non è semplicemente quando il termine diventa molto piccolo (che come risposta sarebbe molto soggettiva), ma quando ho inserito abbastanza termini quanto mi richiede lo specifico problema.

Pertanto in taluni casi mi basterà $r_(PQ) approx r_(PO)$, in altri casi dovrò raffinare l'approssimazione e usare $r_(PQ) approx r_(PO) - d*cos(theta)$, in altri ancora non basterà neanche questa e dovrò inserire ulteriori termini.

In pratica è la stessa metodologia adottata per risolvere certi limiti applicando lo sviluppo di Mc-Laurin, in cui la scelta del grado dello sviluppo viene determinata in base al limite da risolvere.

Un'ultima considerazione riguarda il fatto che quando si approccia un problema di questo tipo, proprio per non ingenerare dubbi, sarebbe sempre meglio riportare dappertutto lo stesso grado di approssimazione e solo all'ultimo rimuovere i termini sovrabbondanti (infinitesimi di ordine superiore), ma è chiaro che così facendo ci si complica parecchio i conti e quindi magari si utilizzano delle "scorciatoie" applicando sviluppi di grado diverso a pezzi diversi all'interno dello stesso problema, ma con l'ovvio sottointeso che si sa che comunque il risultato finale è corretto.

[eternauta]

Caspita, grazie mille ingres, credo che hai proprio centrato il punto perché finalmente ho capito.

MI ero impanicato ma si vede bene come dici tu sviluppando tutto l'insieme $r_(PQ) = r_(PO)*(1 - d/r_(PO)*cos(theta) + 1/2 (d/r_(PO))^2*sin^2(theta) + ....)$ (**)

La tua ultima postilla è illuminante (a piè del tuo ultimo post), il professore in effetti come dicevo aveva preso: $r_{PQ} \approx r_{PO} - d cos\theta$ e poi ulteriormente sviluppava con taylor.

Però i miei dubbi nascono da lì in poi diciamo, io parto da $r_{PQ} \approx r_{PO} - d cos\theta$ (1)

E il prof dice:

$1/r_(PQ)\approx 1/(r_(PO)-dcostheta)=$ [...calcoli in cui sfrutto binomio con sv. taylor...] $=1/r_(PO)+(dcostheta)/(r_(PO)^2)$ sicome ordine superiore trasucro 1/r^2 => $1/r_(PQ) \approx 1/r_(PO)$

E mi dicevo ma se già la formulazione $r_{PQ} \approx r_{PO} - d cos\theta$ usciva dallo sviluppo poi risviluppo a matrioska e non ci capivo più nulla.

Il punto è che

quindi magari si utilizzano delle "scorciatoie" applicando sviluppi di grado diverso a pezzi diversi all'interno dello stesso problema

e non mi ero accorto che tutto si riconduceva in realtà alla (**)

Finalmente ho capito, mi ero proprio impallato su questa cosa Grazie mille!

[gandolfo_m]

@ingres: mi è stata molto utile la tua risposta e vorrei chiederti una informazione, dato che sto studiando anche io i dipoli e ho un dubbio pressoché simile.

La mia domanda è questa: noi abbiamo $r_(PQ) = r_(PO) - d*cos(theta)$, e spesso ci basta: $r_(PQ) = r_(PO)$, quest'ultima vorrebbe dire che in sostanza la d del dipolo possiamo considerarla nulla, cioè a conti fatti a grande distanza per certi casi possiamo considerare il dipolo come non fosse un dipolo ma "materia neutra"

Tuttavia qui mi sorge un dubbio, in particolare il mio Prof voleva calcolare il potenziale vettore per un dipolo oscillante, si fa tutto il bel calcoletto e poi nell'integrale al posto di $r_(PQ)$ sostituisce $r_(PO)$ proprio in virtù di tale approx.
Ma allora mi chiedo, se io considero $r_(PQ) = r_(PO)$ dopo tutto questo calcolo, vuol dire che questa approssimazione mi va bene no? bene, ma se dall'inizio avessi accettato l'approssimazione $r_(PQ) = r_(PO)$ (io mi dico se vale alla fien vale anche da''inizio per trasnitività), beh allora proprio perché questo implica $d=0$ in sostanza ammetto che non ho un dipolo (se la applico all'inizio). Ma allora non avrei manco un potenziale vettore! E questo non è un assurdo? Perché se uso una approssimazione dall'inizio non funziona, ma posso applicarla a mio piacere (aka quando mi fa comodo) nei calcoli successivi? Mi stona un po' come ragionamento.

[ingres]

Capisco che sembri che si applichino le regole in modo arbitrario e che questo urti la logica.
Però come dicevo è perchè si conosce il risultato e quindi si saltano in realtà dei passaggi.

Cerco di spiegarmi con un esempio semplice. Supponiamo che si sia presa come approssimazione iniziale

$r_(PQ) = r_(PO) - d cos(theta)$

e che ci risulti dopo alcuni passaggi un'espressione del tipo:

$V= (d cos(theta))/r_(PQ)$ (*)

ovvero, sfruttando ancora una volta l'approssimazione di $r_(PQ)$:

$V approx (d cos(theta))/(r_(PO) - d cos(theta))= (d cos(theta))/(r_(PO)*(1-(d cos(theta))/(r_(PO)))$

Sfruttando poi il fatto che $1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ..$ e limitandoci all'approssimazione del primo ordine (in linea con quanto deciso all'inizio), avremo:

$V approx (d cos(theta))/r_(PO)*(1+ (d cos(theta))/(r_(PO))) = (d cos(theta))/r_(PO) + ((d cos(theta))/r_(PO))^2$

Ancora una volta ci liberiamo dei termini di ordine superiore al primo e scriviamo l'espressione finale come:

$V approx (d cos(theta))/r_(PO)$

Ora è chiaro che invece di fare tutti questi passaggi avrei potuto semplicemente dire che nell'espressione (*) approssimavo

$r_(PQ) approx r_(PO)$

per ottenere lo stesso risultato, ingenerando la domanda del perchè qui considero in pratica d=0 e da altre parti invece mi sono comportato diversamente.

Questo è un esempio in cui in realtà si prende una scorciatoia per evitare di fare tutti i conti ed è giustificata solo dal fatto che il risultato finale è corretto.

[gandolfo_m]

Ok certo il ragionamento mi sembra chiaro:

alla fine mi ritrovo con $1/r_(PQ)\approx 1/(r_(PO)-dcostheta)=[...]=1/r_(PO)+(dcostheta)/(r_(PO)^2)$ trascurando 1/r^2 => $1/r_(PQ) \approx 1/r_(PO)$ in modo coerente il reciproco ci porta a $r_(PQ) \approx r_(PO)$. Fin qui mi pare ok.

Però scusa, se io fin dall'inzio assumo questo sviluppo, in teoria è come se dicessi che $d=0$, come riferivi anche tu. Ma a questo punto se d=0 non ho un dipolo.

A me sembra che possa essere già sfruttato fin dal principio, perché in modo coerente prendo il primo ordine come dicevi giustamente. Tutto vero, ma questo fin dall'inizio posso dirlo no?
Infatti prendendo lo sviluppo compelto dal'inizio ho $r_(PQ) = r_(PO)*(1 - d/r_(PO)*cos(theta) + 1/2 (d/r_(PO))^2*sin^2(theta) + ....)$ e se mi arresto al primo ordine ho proprio l'uguaglianza che mi crea dubbi (non esistenza del dipolo). Insomma non capisco in che modo la spiegazione che mi hai dato spiegherebbe perché non vale all'inizio ma dopo si

Cioè mi sembra che introducendo l'apporssimazione (correttissima per carità) alla fine funziona, ma se la prendo fin dal principio no. E questa cosa mi sembra stridere con la mia logica: se vale alla fine vale anche all'inizio. Cosa erro secondo te?

[ingres]

A me sembra che possa essere già sfruttato fin dal principio, perché in modo coerente prendo il primo ordine come dicevi giustamente. Tutto vero, ma questo fin dall'inizio posso dirlo no?

No, è proprio questo il punto. Quello che si vuole ottenere è una formula con un'approssimazione del primo ordine in d. Se introduco subito d=0 nell'esempio che ho fatto ottengo V=0 che non è l'obiettivo (è come dire che per x piccoli $sin(x) approx 0$, che è vero ma non è lo scopo che è invece $sin(x) approx x$).
Quindi lo sviluppo deve procedere mantenendo di vista questo obiettivo e quindi utilizzando approssimazioni del primo ordine e scartando gli infinitesimi di ordine superiore.
Arrivati in fondo, non assumendo mai che d=0, se ci si rendo conto che in realtà in qualche pezzo della formula, non dappertutto, si poteva tutto sommato anche assumere d=0, senza alterare il risultato, lo si può fare ma è una conseguenza e non un'ipotesi a priori.

[gandolfo_m]

Ok, ma quindi vado un po' a utilizzare cum grano salis quella approssimazione al I° ordine, voglio dire: io potrei usarla dall'inizio e quello che intendevo è proprio che sarebbe stupido perché otterrei un nulla di fatto e responso V=0.

Cioè se uso subito il primo ordine di approssimazione ottengo il risultato d=0

Allora dico, ok teniamola da parte e procedo con lo studio, a quel punto trovo $V!=0$ e introduco qui l'approssimazione (perché introdotta ora non fa danno).

Mi sembra sia questo il senso o sono fuori strada?
Ok, se è così però mi stupisce perché dico, caspita ma se la uso dall'inizio annullo tutto, beh bello schifo! Mentre se la uso dopo (l'approssimazione) funziona tutto a meraviglia. Non so perché a sentimento questa cosa mi stona, intuitivamente avrei detto: se posso usarla dopo posso usarla fin da principio, se è una approssimazione valida è valida in tutto lo studio del problema... invece par non essere così. Ma vorrei capire se ho ben capito o mi sfugga qualche scemenza. Quindi chiedo a te

[ingres]

Si il senso è proprio quello, ma è giustificato, per così dire, dal fatto che conosco il risultato giusto e quindi so dove posso fare il "furbo" e dove invece devo "rigare dritto".
Ovviamente, visto esternamente, questo approccio disturba abbastanza.
E' come se uno ti dicesse che per calcolare per x piccolo lo sviluppo di McLaurin al primo ordine della funzione $x/(1+x)$ bisogna tenere la x al numeratore così com'è e invece quella al denominatore bisogna porla a zero.
In effetti si ottiene il risultato giusto, ma sembra che sia qualcosa che stoni in questa procedura: perchè tratto diversamente la x al numeratore da quella al denominatore?
Quello che stona è il fatto che chi lo dice sa che sviluppare 1/(1+x) non porterebbe nessuna modifica al risultato finale per cui porre x=0 va bene, mentre quello che lo ascolta non lo sa.

[gandolfo_m]

E' un buon esempio di "chi sa dove andare fa giusto" XD

Però nel caso del dipolo è ancora più profondo secondo me, o forse sono solo spaesato, perché in quel caso è strambo che non solo devo usarla sapendo dove voglio andare a parare. Ma sviluppare fin dall'inzio $r_(PQ) = r_(PO)*(1 - d/r_(PO)*cos(theta) + 1/2 (d/r_(PO))^2*sin^2(theta) + ....)$ e usare il primo ordine fin da subito ci porta alla ciofecata di d=0 e Rpq=Rpo => V=0. Mentre nel caso dello sviluppo da te proposto sostituito 0 a denominatore fin dall'inizio magicamente funziona. nel dipolo invece fai un bel danno.