Approssimazione distanze

[Noodles]

@ gandolfo_m

Con le notazioni sottostanti:

$Q gt 0$

$A(0,0,-d/2) ^^ Q_A=-Q$

$B(0,0,d/2) ^^ Q_B=Q$

$P(x,y,z)$

per quanto riguarda il potenziale esatto:

$V(x,y,z)=$

$=-1/(4\pi\epsilon_0)Q/sqrt(x^2+y^2+(z+d/2)^2)+1/(4\pi\epsilon_0)Q/sqrt(x^2+y^2+(z-d/2)^2)=$

$=-Q/(4\pi\epsilon_0)[1/sqrt(x^2+y^2+z^2+d^2/4+dz)-1/sqrt(x^2+y^2+z^2+d^2/4-dz)]$

e per quanto riguarda il potenziale approssimato, sviluppando rigorosamente con le note formule e limitandosi al primo ordine:

$d rarr 0$

$V(x,y,z)=$

$=-Q/(4\pi\epsilon_0)[1/sqrt(x^2+y^2+z^2)-1/2z/sqrt((x^2+y^2+z^2)^3)d-1/sqrt(x^2+y^2+z^2)-1/2z/sqrt((x^2+y^2+z^2)^3)d]=$

$=(Qd)/(4\pi\epsilon_0)z/sqrt((x^2+y^2+z^2)^3)=$

$=(Qd)/(4\pi\epsilon_0)(rcos\theta)/r^3=$

$=(Qd)/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2$

Quindi, ammesso e non concesso che io abbia compreso il tuo dubbio, effettivamente:

$lim_(d->0)(Qd)/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2=0$

Il fatto è che, per ottenere un limite effettivamente diverso da zero, non solo:

$d rarr 0$

ma anche:

$Q rarr oo$

in modo tale che:

$Q*d=p$

con $p$ costante uguale al modulo del momento di dipolo:

$lim_(d->0)lim_(Q->oo)(Qd)/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2=p/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2$

Più in generale, la distribuzione di carica associata al momento di dipolo non è una funzione, piuttosto, una distribuzione (un funzionale che agisce su uno spazio di funzioni di prova sufficientemente regolari) che necessita di due passaggi al limite dipendenti tra loro:

$[d rarr 0] ^^ [Q rarr oo] ^^ [Q*d=p]$

Vero è che il medesimo modello matematico si applica, in meccanica, al concetto di forza impulsiva, probabilmente più familiare:

$[\Deltat rarr 0] ^^ [F rarr oo] ^^ [F*\Deltat=I]$

con $I$ costante uguale al modulo dell'impulso.

P.S.
Veramente, non ho capito se intendevi ricavare:

$V(x,y,z)=(Qd)/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2$

sviluppando rigorosamente, probabilmente no, o se intendevi evitare che:

$lim_(d->0)(Qd)/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2=0$

[gandolfo_m]

Quello che hai scritto è molto interessante e profondo e comunque molto utile persosnalemnte parlando.
In realtà la mia domanda era più banalmente che notavo che introducendo lo sviluppo al primo ordine dopo aver calcolato V trovavo una qualcosa di sensato.

Io mi dicevo, ma scusa per transitività se approssimare al primo ordine vale dopo aver calcolato V non può valere fin dall'inizio? Cioè non posso introdurre l'approssimazione prima?

E la risposta è no perché se introduco subito quella approssimazione avrei che da principio d=0, ossia non ho un dipolo ossia V=0.

Il mio dubbio era solo perché non funziona approssimare subito a primo ordine?

Il senso (che diceva ingres) era che l'approssimazione non posso introdurla a piacere durante la soluzione del problema.

[Noodles]

Solo per sottolineare che:

$V(x,y,z)=p/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2$

non è assolutamente il potenziale approssimato, piuttosto, è il potenziale esatto del dipolo definito mediante i due passaggi al limite del mio messaggio precedente. Insomma, poichè si riesce a passare al limite per:

$d rarr 0$

senza ottenere un valore nullo, non ci sono approssimazioni. Come svolgere quel limite non ha alcuna rilevanza.

[gandolfo_m]

Sì certo, però si può anche raggiungere per troncamento come si diceva nelle pagine addietro no?
Cioè il mio dubbio era su quello, poi capisco che ci sia una strada senza troncamenti, ma come spesso capita ci sono varie vie per giungere al risultato, questa via è intrigante per quel motivo: non approssima.

Però il mio dubbio era su come si usava il troncamento per giungere al risultato di V.

[Noodles]

Ok.

[gandolfo_m]

In ogni caso il tuo commento mi ha insegnato molto. Una cosa su cui non avevo posto la dovuta attenzione ed è davvero profondo come concetto. Ti ringrazio tanto