Esercizio Equazione di Energia Potenziale per Trovare la Pulsazione di Moto Armonico Semplice

[DriveKnight]

Salve,

Ho provato a svolgere un esercizio che fornisce, che di solito mi aspetto di un valore, una funzione di quarto grado.
Dato un corpo di massa m= 1,5kg fermo in Xo = 0, in una curva di potenziale data da
U(x) = $ -0,5x^4 + 3x^2 $ (energia misurata in Joule e spazio in metri).

Se si sposta la massa dal suo punto di equilibrio e la si lascia libera di muoversi, quale sarà la pulsazione del moto armonico semplice osservato?

La mia idea è di integrare la funzione U(x) per trovare il valore dell'area che la funzione rappresenta.
Dopo aver trovato il valore di U(x), usare la legge di conservazione dell'energia E=U

Ovvero $ 1/2mv^2 = U(x) $ e risolvere per la velocità.

Dalla velocità uso la formula della volecità del moto armonico : $ v = -wA $ in cui w è la pulsazione, A l'ampiezza del moto armonico semplice e v è la velocità.

Ridolvendo infine per $ w = -v/A $


Questo ragionamento è corretto?
Non ne sono sicuro, anche perchè come trovo l'ampiezza del moto armonico avendo solo l'energia potenziale e massa?

Ho un dubbio enorme sul calcolare, in questo caso, il valore dell'integrale se non ho valori che rendono proprio l'integrale, come si risolve?


Grazie e cordiali saluti.

[ingres]

Se U(x) è l'energia potenziale, allora la forza F agente sul corpo sarà data da

$F(x) =-(dU(x))/(dx) = -6x + 2*x^3$

Se quello che si cerca è la pulsazione delle piccole oscillazioni attorno all'origine, allora linearizzando

$F(x) =-6x$

Quindi risulterà ancora:

$m ddot x = F = -6x$ ovvero

$ddot x + 4x = 0$

Questa è l'equazione dei moti armonici da cui si ricava subito $omega = 2$

In alternativa puoi anche usare la conservazione dell'energia, osservando però che se l'ampiezza della velocità è $A*omega$, l'ampiezza della x vale A, per cui, sempre nell'ambito delle piccole oscillazioni

$1/2 m * (A*omega)^2 = 3A^2$

da cui di nuovo si ricava $omega = 2$

[DriveKnight]

Grazie mille!

Mi è più intuitivo il ragionamento con la conservazione dell'energia, però ho capito anche tramite la relazione tra forza ed energia potenziale.

Usando la conservazione dell'energia, abbiamo preso $ 3A^2 $ come energia potenziale perchè linearizzando attorno all'origine è il componente più piccolo?

[ingres]

Nell'ipotesi di piccoli spostamenti attorno all'origine ovvero di A sufficientemente piccolo (diciamo in questo caso A<<1) il termine $3A^2$ del potenziale è prevalente (ovvero è molto più grande) rispetto al termine $-0.5 A^4$.
Per convincersi basta assegnare un piccolo valore ad A, ad esempio A=0.1, e comparare i due termini.
In altre parole con la scelta di considerare solo $3A^2$ stiamo trascurando gli infinitesimi di ordine superiore nell'espressione dell'energia potenziale.