energia cinetica moto rototraslatorio

[Dembe]

Buon Giorno,
Ho il seguente problema:
Un asta omogenea di massa 0,6 kg e lunghezza 0,5 m, ruota su un piano orizzontale attorno a una sua estremità con velocità angolare pari a 4 rad/s. A un certo istante il perno che tiene l'estremità O dell'asta si rompe e l'asta è libera di muoversi sul piano. Si trascurano gli attriti. Trovare l'energia cinetica finale.
L'energia cinetica finale sarà la somma del'energia cinetica relativa alla traslazione e quella relativa alla rotazione.
\(\displaystyle Ktot=1/2mv^2+1/2Iω^2 \)
Avrei pensato di fare in questo modo: essendo nulla la risultante delle forze esterne al sistema, il momento angolare si conserva; per cui posso ricavare la velocità angolare finale egualiando i momenti angolari iniziali e finali; per il momento d'inerzia iniziale è facile: asta che ruota attorno a un asse parallelo a quello del suo centro di massa: Steiner e trovo:
\(\displaystyle I=1/3ML^2 \)
per quello finale, secondo me è la somma di due contributi: ho l'asta che ruota su se stessa attorno al centro di massa: \(\displaystyle I=1/12ML^2 \) ma non so come gestire la parte relativa al distacco dell'asta dal punto O attorno al quale ruotava prima del distacco e dove era vincolata,
Ringrazio in anticipo chi riesce a darmi una spiegazione,

[Faussone]

E' (quasi) corretto quello che hai scritto.
Solo che la risultante delle forze esterne non è nulla tra prima e dopo il distacco, visto che c'è un vincolo che peraltro cessa di agire...

In che senso non sai "come gestire la parte relativa al distacco dell'asta dal punto O"?
Rispetto a quale punto il momento angolare si conserva? Una volta stabilito quello dalla conservazione del momento angolare puoi ottenere sia la velocità di traslazione del centro di massa sia la velocità angolare di rotazione dell'asta.
Per il calcolo dell'energia cinetica finale puoi sempre applicare il teorema di Koenig.

[mgrau]

Ma perchè la rottura del vincolo dovrebbe modificare l'energia cinetica?

[BayMax]

Buonasera a tutti!
A costo di passare per stupido, mi unisco anche io alla domanda di @Dembe. Non riesco a venire a capo e ad arrivare alla soluzione; c'è qualcosa che mi sfugge. Sono bloccato anche sul ragionamento. C'è qualcuno che potrebbe riportare tutti i vari passaggi spiegati?
Il problema in questione dovrebbe essere tratto da "La Fisica di Cutnell e Johnson" del terzo anno di superiori. Mi vergogno a dire che non sono riuscito a capire come svolgerlo. Il testo completo del libro è il seguente:

Un'asta omogenea di massa m=0,60 kg e lunghezza l=0,50 m ruota su un piano orizzontale attorno a una sua estremità con velocità angolare $omega_0=4,0 (rad)/s$. A un dato istante il perno che tiene ferma l'estremità dell'asta si rompe e l'asta è libera di muoversi sul piano. Trascura tutti gli attriti.
- Spiega perché l'asta trasla, ruotando attorno al suo centro
- Calcola l'energia cinetica finale dell'asta.

Il risultato riportato dal libro è 0,33 J.

Grazie sin da ora a quanti risponderanno e, come sempre,

saluti

[mgrau]

Quando il vincolo si rompe, il centro di massa dell'asta prosegue a muoversi di moto rettilineo uniforme.
La sua velocità è $omegaL/2$.
Il momento angolare si conserva, e prima della rottura era $1/3mL^2omega$, riferito al perno. Dopo la rottura, riferito sempre al punto dov'era il perno, è composto da due termini, quello dovuto alla rotazione intorno al centro del'asta, $1/12mL^2omega'$ e quello dovuto alla traslazione, $mvL/2 = 1/4mL^2omega$. I due termini, sommati, danno $1/3mL^2omega$ , il valore precedente, purchè sia $omega = omega'$, quindi anche la velocità angolare si conserva, cosa che potevamo immaginare.
L'energia cinetica si può trovare sommando i due termini di traslazione e di rotazione, se ci si vuole complicare la vita, se no è quella iniziale, visto che non è stato fatto lavoro sul sistema

[BayMax]

Grazie @mgrau per aver risposto e per la spiegazione che penso di aver capito.
Commettevo un doppio, stupidissimo, errore: nel calcolare il momento angolare prima e dopo la rottura del perno cambiavo polo (prima rispetto al perno, poi rispetto al centro di massa); inoltre dimenticavo una cosa fondamentale, cioè che il momento angolare di un corpo rigido in rototraslazione non è solo $L=Iomega$, ma la somma del momento angolare del corpo rispetto al suo centro di massa e del momento angolare del centro di massa stesso. Ora vado a cercare il cilicio riposto da qualche parte per punirmi .
Resta solo una domanda che mi lascia ancora perplesso, se posso: sfruttando il tuo prezioso suggerimento

Ma perchè la rottura del vincolo dovrebbe modificare l'energia cinetica?

ho calcolato l'energia cinetica iniziale (che, quindi, dovrebbe essere pari a quella finale), usando la formula dell'energia cinetica rotazionale, in quanto inizialmente il corpo ruota intorno al perno senza traslare. Così facendo ottengo $K_i=K_f=1/2Iomega^2=1/2*1/3ML^2omega^2=1/6*0,6kg*(0,5m)^2*(4(rad)/s)^2=0,4J$, ben lontano dal valore di 0,33 J riportato come risultato nel libro. Ora, il valore 0,33 J mi sembra troppo "preciso" per essere un errore, ma tutto può essere. Sbaglio qualcosa io nel calcolo o è un errore del libro?

Grazie ancora

[sellacollesella]

Sbaglio qualcosa io nel calcolo o è un errore del libro?

Sbaglia il libro. Tra l'altro, questo è un habitué nei libri frutto di una becera trascrizione degli originali manuali in lingua inglese (Cutnell-Johnson, Halliday-Resnick-Walker, Serway-Jewett, ...), dove si alternano errori di traduzione nei problemi copiati pari-pari (vedasi primo messaggio di Dembe) ad errori grossolani nei problemi introdotti ex novo (tipo quello qui proposto). A mio modo di vedere, l'unico motivo per cui molti docenti si ostinano ad adottarli è per una loro comodità offerta dalle case editrici, dato che danno loro una tonnellata di materiale con cui poter preparare le lezioni e somministrare i rispettivi compiti in classe. E a farne le spese, senza che se ne accorgano minimamente, sono gli studenti (di cui ho fatto parte in allegra compagnia).

[Faussone]

Anche a me risulta che l'energia cinetica sia 0.4 joule.
Direi che è sbagliata la soluzione fornita dal testo.

Da notare che in questo caso è vero che l'energia cinetica si conserva, ma non sarebbe vero in generale nel caso opposto: di un'asta che ruota e trasla e in cui un estremo viene improvvisamente vincolato a stare fermo.

[Dembe]

Grazie a tutti per l'interesse dimostrato. Anche io avevo iniziato pensando che una volta staccato dal perno l'asta procedeva in moto rettilineo uniforme nella stessa direzione e verso della velocità del centro di massa dell'asta al momento del distacco, e con lo stesso modulo della velocità v=1 m/s. A questo punto il momento angolare è composto da due parti: quella relativa alla traslazione, riferita al punto O è quella relativa alla rotazione dell'asta rispetto al centro di massa. I passaggi sono spiegati dagli utenti Mgrau e ByMax. Alla fine il valore del momento di inerzia finale risultava uguale a quello iniziale e quindi anche la velocità angolare finale era uguale a quella iniziale. Quindi anche l'energia cinetica finale era uguale a quella iniziale, ma il testo suggeriva un risultato diverso e mi ha mandato in confusione.
Concordo con l'utente collesella sul testo, se si ha dimestichezza con inglese è meglio la versione originale;anche nel precedente esercizio che ho postato c'era un errore di traduzione riferito al blocco che non si è mosso ma è stato spostato. Grazie a tutti e buona giornata.

[BayMax]

Grazie a tutti! (@mgrau, @sellacolesella, @Faussone e @Dembe, col quale mi scuso se mi sono sovrapposto nel thread, ma mi interessava particolarmente).
Dunque, è errato il risultato del testo (mannaggia!). Anche io mi ritrovo con quanto detto da @sellacollesella, tant'è vero che, avendo notato che fosse un problema del Cutnell, la prima cosa che ho fatto è stata andare a riprendere il libro originale in inglese, ma non ho trovato l'esercizio (dal che ho dedotto che fosse uno dei problemi aggiunti alla versione italiana e non presenti nell'originale inglese).

Da notare che in questo caso è vero che l'energia cinetica si conserva, ma non sarebbe vero in generale nel caso opposto: di un'asta che ruota e trasla e in cui un estremo viene improvvisamente vincolato a stare fermo.

Grazie anche per questa precisazione ed interessante spunto di riflessione.

Come sempre,

saluti