Campo magnetico spira circolare

[Yametsu]

Salve,
Stavo provando a calcolare il campo magnetico di una spira circolare percorsa da corrente in un punto generico (fuori asse) dato che nel libro che uso (mazzoldi nigro voci) è presentata una formula che non viene dimostrata:
$\vec B$ = $\mu_0/(4\pi)m/r^3(2cos(\theta)\vec u_r + sin(\theta)\vec u_\theta)$

$\vec B$ = $\mu_0/(4\pi r^3)[3(\vec m * \vec u_r)\vec u_r - \vec m]$
con $\vec m$ si indica il momento di dipolo: $\vec m = i\Sigma\vec u_n$ dove $\Sigma$ è la superficie sottesa dalla spira e $\vec u_n$ è il versore perpendicolare al piano in cui è contenuta

Queste formule vengono presentate come risultati generali per dipoli magnetici e volevo provare a dimostrarle (a meno che non siano risultati sperimentali).
Anticipo già di non essere riuscito a fare un granchè ma comunque di seguito mostro come ho provato a calcolarlo fin ora:

Ho scelto di usare coordinate cilindriche in un sistema di riferimento con la spira centrata sull'origine degli assi e posta sul piano XY.
Si vuole calcolare il campo magnetico nel generico punto $\vec P = r\vec u_r + z\vec u_z$.
Si indica con $\varphi$ l'angolo che forma la proiezione di $\vec P$ sul piano XY con il semiasse positivo delle ascisse.
Si considera la spira di raggio R percorsa da una corrente i che attraversa la spira in senso antiorario, di conseguenza parametrizzo la spira come segue:
$\vec s(\theta) = Rcos(\theta)\vec u_x + Rsin(\theta)\vec u_y = Rcos(\theta - \varphi)\vec u_r + Rsin(\theta - \varphi)\vec u_\theta$ $\theta in [0, 2\pi]$
Per il cambio di base da $(\vec u_x, \vec u_y, \vec u_z)$ a $(\vec u_r, \vec u_\theta, \vec u_z)$ è stata usata la seguente matrice: $M = ((cos(\varphi),sin(\varphi),0),(-sin(\varphi),cos(\varphi),0),(0,0,1))$.
Per ogni elemento infinitesimo di spira sarà $\vec r(\theta) = \vec P - \vec s(\theta) = r - Rcos(\theta - \varphi)\vec u_r - Rsin(\theta - \varphi)\vec u_\theta + z\vec u_z$.
Si vuole utilizzare la prima legge di Laplace: $\vec B = int \mu_0 /(4\pi) i (\vec ds \wedge \vec r)/\vec r^3$:
$\vec ds = (-Rsin(\theta - \varphi)\vec u_r + Rcos(\theta - \varphi)\vec u_\theta)d\theta$
$\vec ds \wedge \vec r = (Rzcos(\theta - \varphi)\vec u_r -Rzsin(\theta - \varphi)\vec u_\theta + (R^2 - Rrcos(\theta - \varphi))\vec u_z)d\theta$
$\vec r^3 = [R^2 + r^2 + z^2 -2rRcos(\theta - \varphi)]^(3/2)$
$B_\theta = -\mu_0 /(4\pi)i int_0^(2\pi) (Rzsin(\theta - \varphi)d\theta ) /[R^2 + r^2 + z^2 -2rRcos(\theta - \varphi)]^(3/2) = \mu_0 / (4\pi)i int_(t_i)^(t_f) zdt/[R^2 + r^2 + z^2 -2rt]^(3/2) = ... = -\mu_0/(4\pi)(izr)/[R^2 + r^2 + z^2]^(5/2)1/sqrt(1 - (2rt)/(R^2 + r^2 + z^2))|_(t_i)^(t_f)$
Nella soluzione dell'integrale si è posto $t = Rcos(\theta - \varphi)$.
$B_r = \mu_0/(4\pi)i int_0^(2\pi) (Rzcos(\theta - \varphi)d\theta)/[R^2 + r^2 + z^2 -2rRcos(\theta - \varphi)]^(3/2)$
$B_z = \mu_0/(4\pi)i int_0^(2\pi) (R^2 - Rrcos(\theta - \varphi))/[R^2 + r^2 + z^2 -2rRcos(\theta - \varphi)]^(3/2)d\theta$

Questi ultimi e due integrali non sono riuscito a risolverli.
Questo è stato il mio tentativo più vicino a trovare la soluzione.
Il mio principale obbiettivo è riuscire a dimostrare le due formule iniziali (le quali sono equivalenti) che hanno carattere generale per i dipoli magnetici quindi se mi venisse proposta qualche soluzione più semplice di quella che sto tentando io non potrei che esserne felice.

Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi a risolvere il mio dubbio.

[ingres]

Le formule che hai trovato coinvolgono integrali risolubili solo con l'uso di funzioni ellittiche. In linea di principio si potrebbe vedere il limite a cui tendono nel caso di un dipolo magnetico che è ottenibile riducendo le dimensioni della spira e mantenendo costante il prodotto tra corrente ed area.

https://it.wikipedia.org/wiki/Dipolo_magnetico

In pratica di solito si parte dal calcolo del potenziale vettore magnetico $vec A$ e da questi applicando il rotore si ottiene il campo $vec B$.

https://it.wikipedia.org/wiki/Potenzial ... _magnetico

Qui puoi trovare la derivazione del potenziale vettore nel caso del dipolo magnetico e della prima formula.

https://www.ittc.ku.edu/~jstiles/220/ha ... Dipole.pdf