Esercizio con Equazione di Forza per Trovare la Velocità Durante un Percorso

[DriveKnight]

Salve, ho provato a risolvere un esercizio:

Un punto materiale di massa 0.8 kg si trova inizialmente fermo, nel piano, nell’origine di un sistema di
riferimento x-y. All’istante t=0 viene applicata una forza che varia spazialmente secondo l’equazione
seguente:

$ F(x, y) = (2 + 4x + y)î+ (3y)ĵ $

Si calcoli il vettore velocità (dando le due componenti) quando il punto ha raggiunto la posizione
corrispondente a x=4m



Ho provato considerando le due componenti della forza separatamente, per trovare $ a = F/m $ sia per la componente x che per la componente y

ovvero per x che chiamo ax : $ a = (2+4x+y)/0.8 $

e per y che chiamo ay : $ a = (3y)/0.8 $

Essendo che l'accelerazione è la derivata della velocità, ho pensato di integrare sia ax che ay ma qui mi son fermato, non conoscendo il tempo che la massa impiega ad arrivare a x = 4m


Come proseguo? Il procedimento a me sembra questo, mi trovo in difficoltà con la presenza di equazioni più costruite come questa.

Grazie e cordiali saluti.

[mgrau]

Se il punto si trova inizialmente nell'origine, $y=0$, e siccome la componente $y$ della forza è proporzionale a $y$, questa è e rimane zero, per cui il punto si sposta solo lungo $x$.
A questo punto ti puoi dimenticare $y$, e hai una forza data da $2 + 4x$ in direzione $x$.
Se integri questa forza sui $4m$ di percorso, trovi il lavoro compiuto, da cui l'energia cinetica e la velocità

[Lampo1089]

purtroppo è più complicato ...
in primo luogo, il campo di forza dato non è conservativo, di conseguenza non è possibile scrivere un potenziale.
Questo è fondamentale per poter calcolare il lavoro, dato che il lavoro in generale per forze non conservative dipende dal particolare cammino tra punto iniziale e finale. Il cammino deve essere ovviamente soluzione dell'equazione del moto, per cui ci troviamo in un vicolo cieco.

In secondo luogo, anche se il campo fosse stato conservativo, senza altri passaggi non sarebbe possibile calcolare le componenti della velocità, ma solo il suo modulo nel punto finale.

Immagino che si debba risolvere l'eqdiff, cosa fattibile agevolmente esprimendo il sistema di equ in forma matriciale e trovando gli autovalori della matrice dei coefficienti.

[mgrau]

purtroppo è più complicato ...
in primo luogo, il campo di forza dato non è conservativo, di conseguenza non è possibile scrivere un potenziale.

D'accordo che la forza non è conservativa, per cui non c'è potenziale.
Ugualmente, non mi pare così complicato trovare il cammino: non dobbiamo trovare una soluzione generale, difficile, ma per quel campo di forze. Ora, l'asse $x$ è ovviamente un percorso che soddisfa le condizioni iniziali e la struttura del campo di forza. O no?
E se proprio vogliamo cercare il pelo nell'uovo, si può notare che è un percorso instabile, ma pazienza...

[ingres]

Il campo diventerebbe unidimensionale e dipendente solo dalla posizione e quindi direi che è conservativo, a prescindere dalla stabilità.
Infatti ammette un potenziale $2x+2*x^2$ tale che la sua derivata rispetto ad x fornisce F.
Comunque, tralasciando le definizioni, dal punto di vista puramente matematico avremmo l'equazione

$mddot x = 2+4x$

Moltiplicando tutto per $dotx$ si ottiene, riscrivendo opportunamente i vari termini:

$d/dt(1/2 m (dot x)^2) = 2*(dx)/dt+d/dt(1/2*4*x^2)$

e quindi integrando e tenendo conto delle condizioni iniziali:

$1/2 m (dot x)^2 = 2*x+2*x^2$

che può essere interpretato proprio come variazione di energia cinetica = lavoro fatto dalla forza $2+4x$

[Lampo1089]

Avete ragione, il punto in cui valutare la forza è (4,0).
Personalmente eviterei di parlare di campo conservativo in questa situazione particolare, dato che a maggior ragione la restrizione 1d di un qualsiasi campo possiede potenziale, e il concetto di conservatività considera qualunque cammino nel dominio di definizione.

Il fatto che l'ordinata del punto di partenza sia zero semplifica tutto, assolutamente

[DriveKnight]

Il campo diventerebbe unidimensionale e dipendente solo dalla posizione e quindi direi che è conservativo, a prescindere dalla stabilità.
Infatti ammette un potenziale $2x+2*x^2$ tale che la sua derivata rispetto ad x fornisce F.
Comunque, tralasciando le definizioni, dal punto di vista puramente matematico avremmo l'equazione

$mddot x = 2+4x$

Moltiplicando tutto per $dotx$ si ottiene, riscrivendo opportunamente i vari termini:

$d/dt(1/2 m (dot x)^2) = 2*(dx)/dt+d/dt(1/2*4*x^2)$

e quindi integrando e tenendo conto delle condizioni iniziali:

$1/2 m (dot x)^2 = 2*x+2*x^2$

che può essere interpretato proprio come variazione di energia cinetica = lavoro fatto dalla forza $2+4x$

Ciao! Da questo ho proseguito ponendo
$ 1/2mv^2 = 2x + 2x^2 $ sostituendo la x con la posizione finale 4.

Risolvendo per v ho ottenuto un risultato finale di $ v = 10 m/s^ $


E' corretto ipotizzare che se la posizione finale avesse avuto anche una componente y non nulla, avremmo dovuto eseguire lo stesso procedimento ma due volte? Una per integrare x ed una per integrare y? Trovando poi le due diverse velocità $ Vx $ e $ Vy $ ?

[ingres]

Nel caso più generale di

$m*ddot x = a_(11) x + a_(12) y$
$m*ddot y = a_(21) x + a_(22) y$

si deve risolvere il sistema come scritto da Lampo1089.

si debba risolvere l'eqdiff, cosa fattibile agevolmente esprimendo il sistema di equ in forma matriciale e trovando gli autovalori della matrice dei coefficienti.

Se poi il sistema è conservativo (in generale e non solo sulla restrizione y=0) si possono scrivere degli integrali primi che mettono in relazione la velocità con la posizione, ma bisogna vedere il caso specifico per capire se questo è sufficiente agli scopi del problema.

Nel caso in questione comunque, mancando il termine $a_(21)$ si può anche risolvere prima l'equazione in y, trovando y(t). Non è sufficiente trovare solo la velocità perchè la forza su x dipende da y.
Trovata l'espressione esplicita di y(t), cosa fattibile perchè si tratta di un'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti del II ordine e quindi per inciso la soluzione è del tipo:

$y(t) = A e^(sqrt(3)t) + B e^(-sqrt(3)t)$ ove A, B sono costanti determinabili dalle condizioni iniziali

si sostituisce il tutto nell'equazione della x che si può scrivere come:

$m*ddot x = 4x + f(t)$

Questa è di nuovo un'equazione lineare a coefficienti costanti del II ordine non omogenea comunque risolubile. A questo punto avendo x(t) e y(t) formalmente il problema è risolto.

Comunque da quanto sopra si vede subito il motivo per cui l'esercizio è stato "truccato" per avere sempre y=0.