punto materiale in un cono

[Martyyyns]

Salve, sto avendo dei problemi nella risoluzione di questo testo:

Un punto materiale è appoggiato sulla superficie interna scabra di un cono che ruota attorno all'asse verticale con velocità angolare 5 rad/s. Siano R= 15cm la distanza dall'asse di rotazione e a=30° la semiampiezza dell'angolo al vertice. Si calcoli per quali valori del coefficiente d'attrito statico il punto non si muove sulla superficie del cono.

Non riesco a capire bene la situazione fisica e di conseguenza lo schema delle forze.

Spero che qualcuno mi possa aiutare

[sellacollesella]

In sostanza, puoi immaginare un imbuto che ruota attorno al proprio asse verticale con velocità angolare costante. Internamente a quell'imbuto ci sta una formichina che grazie all'attrito statico non scivola né in basso verso il vertice, né in alto verso l'esterno. Pertanto, è sufficiente sezionare tale imbuto con un piano che contiene sia l'asse dell'imbuto che la formichina, quindi rappresentarne la sezione così ottenuta che sostanzialmente è una retta inclinata che forma con la verticale un angolo alpha noto. Non ti rimane che rappresentare tutte le forze a cui è soggetta la formichina, ad esempio in un sistema di riferimento solidale con l'imbuto, e imporre i rispettivi equilibri statici in direzione normale e tangente a tale retta inclinata.

[Martyyyns]

Il problema è che non mi tornano le equazioni delle forze. Dalla soluzione vedo che:


m(w^2)cos(a)= N - mg sin(a)
m(w^2)sin(a)= -F + mgcos(a)

ma non mi è chiaro soprattutto il perchè dei primi termini. La velocità angolare è diretta perpendicolarmente al piano di rotazione se non erro, e proiettandola sugli assi non mi trovo con gli angoli...

[sellacollesella]

In un sistema di riferimento solidale con il cono, queste sono le forze in gioco:



Pertanto, imponendo l'equilibrio statico in direzione tangente puoi ricavare \(F_a\), in direzione normale puoi ricavare \(N\) e quindi è sufficiente imporre che la forza d'attrito non ecceda quella disponibile: \(F_a \le \mu_sN\).

[Martyyyns]

Grazie mille