Esercizio Fisica 2 su differenza di potenziale tra due conduttori sferici

[tkomega]

Una sfera conduttrice C1 di raggio R1=10 cm è circondata da un dielettrico omogeneo sferico di spessore d=4cm e costante dielettrica relativa k=5. Il sistema è racchiuso da un guscio conduttore sferico C2 di raggio R2=12 cm.
Determinare la differenza di potenziale elettrostatico tra i due conduttori.



Posso risolvere l'esercizio calcolando il potenziale elettrico della sfera più grande avente raggio R2+R1 utilizzando la formula : ΔV= - ʃE dl dove E è il campo elettrico generato dalla sfera che posso calcolare tramite la legge di gauss : E=Q/4π(R1+R2)^2ε0 e facendo la stessa cosa per la sfera conduttrice piu piccola eccceto che li si ha la costante dielettrica k motivo per cui ad ogni occorrenza nelle formule di ε0 devo sostituire ε0k ?

[ingres]

Sei sicuro del testo del problema?
A vedere il disegno direi che $R_2 = R_1 + d = 10 + 4 = 14 text( cm)$ e non 12.

[ingres]

Comunque puoi semplificare la trattazione evitando di calcolare i potenziali delle due sfere visto che ti chiede solo la differenza di potenziale.

Per il T. di Gauss se Q è la carica contenuta nella sfera C1 e r è la generica distanza dal centro si sfruttando la simmetria sferica, avrà:

$E = 1/(4 pi epsilon) Q/r^2$

dove effettivamente $epsilon = k epsilon_0$, e quindi:

$Delta V = V_1 - V_2 = int_(R_1)^(R_2) 1/(4 pi epsilon) Q/r^2 dr = Q/(4 pi epsilon)*(1/R_1 - 1/R_2)$

risultato a cui comunque si arrivava facilmente anche senza calcolare e integrare il campo.

[tkomega]

Comunque puoi semplificare la trattazione evitando di calcolare i potenziali delle due sfere visto che ti chiede solo la differenza di potenziale.

Per il T. di Gauss se Q è la carica contenuta nella sfera C1 e r è la generica distanza dal centro si sfruttando la simmetria sferica, avrà:

$E = 1/(4 pi epsilon) Q/r^2$

dove effettivamente $epsilon = k epsilon_0$, e quindi:

$Delta V = V_1 - V_2 = int_(R_1)^(R_2) 1/(4 pi epsilon) Q/r^2 dr = Q/(4 pi epsilon)*(1/R_1 - 1/R_2)$

risultato a cui comunque si arrivava facilmente anche senza calcolare e integrare il campo.

Dunque è lo stesso identico caso in cui si richiede di calcolare la differenza di potenziale di un condensatore sferico con l'unica differenza che non bisogna considerare solo la costante dielettrica del vuoto $ epsilon _0 $
ma anche la costante $ kappa $ , ad ogni modo, non manca un meno davanti l'integrale ?

[tkomega]

Comunque puoi semplificare la trattazione evitando di calcolare i potenziali delle due sfere visto che ti chiede solo la differenza di potenziale.

Per il T. di Gauss se Q è la carica contenuta nella sfera C1 e r è la generica distanza dal centro si sfruttando la simmetria sferica, avrà:

$E = 1/(4 pi epsilon) Q/r^2$

dove effettivamente $epsilon = k epsilon_0$, e quindi:

$Delta V = V_1 - V_2 = int_(R_1)^(R_2) 1/(4 pi epsilon) Q/r^2 dr = Q/(4 pi epsilon)*(1/R_1 - 1/R_2)$

risultato a cui comunque si arrivava facilmente anche senza calcolare e integrare il campo.

Ad ogni modo il testo del problema non fornisce il valore di Q !
Posso lasciare l'espressione della differenza di potenziale con Q incognita?

[ingres]

ad ogni modo, non manca un meno davanti l'integrale ?

No, perchè

$ Delta V = V_1 - V_2 = - int_(R_2)^(R_1) 1/(4 pi epsilon) Q/r^2 dr = int_(R_1)^(R_2) 1/(4 pi epsilon) Q/r^2 dr $

Posso lasciare l'espressione della differenza di potenziale con Q incognita?

Direi di SI, ma come parametro più che come incognita, a meno che il problema non prosegua permettendo di determinare Q. In ogni caso è corretto ipotizzare che ci sia una carica perchè altrimenti non avrebbe senso il problema.

[tkomega]

Cosa cambierebbe se considerassi :
$ -(Q)/(4piepsilon)int_(R_1)^(R_2) 1/r^2 dr $
Cioé se mi spostassi da un punto a distanza R1 a un altro a distanza R2 ?
Supponendo ovviamente che il condensatore sferico interno di raggio R1 sia carico positivamente e quello esterno di raggio R2 sia carico negativamente, questo significherebbe che, muovendomi lungo una linea di campo e dunque in direzione radiale dr la differenza di potenziale sarebbe comunque negativa, per cui il segno cambierebbe e alla fine avrei lo stesso
$ -(Q)/(4piepsilon)int_(R_1)^(R_2) 1/r^2 dr = (Q)/(4piepsilon)int_(R_2)^(R_1) 1/r^2 dr = (Q)/(4piepsilon)(1/R_1 - 1/R_2) $
(Muovendomi per l'appunto dall'armatura sferica carica positivamente a quella carica negativamente, per cui essendo la differenza di potenziale negativa, cambierà il segno dell integrale e quindi alla fine riottengo comunque il tuo risultato)

[ingres]

Sei sicuro dell'ultimo passaggio? A me risulta

$int_(R_2)^(R_1) 1/r^2 dr = -1/r |_(R_2)^(R_1)=-1/R_1+1/R_2$

[tkomega]

Sei sicuro dell'ultimo passaggio? A me risulta

$int_(R_2)^(R_1) 1/r^2 dr = -1/r |_(R_2)^(R_1)=-1/R_1+1/R_2$

In teoria si, e io anche mi sono chiesto il perché venga cambiato il segno, infatti nello svolgimento degli esercizi, sia che calcoli la differenza di potenziale di un condensatore cilindrico, sia di un condensatore sferico, il mio professore quando risolve l'integrale alla fine cambia arbitrariamente il segno, come se moltiplicasse tutto per -1, e non giustifica questo passaggio.
La mia ipotesi è che, muovendosi da un armatura carica positivamente di raggio $ R_1 $ a una carica negativamente di raggio $ R_2 $ ( Con $ R_2>R_1 $ ) si ha una differenza di potenziale $ DeltaV<0 $ , per cui cambia il segno alla fine.

[ingres]

.. per cui cambia il segno alla fine.

Credo che la spiegazione possa essere giusta.

Alla fine, visto che di solito il $Delta V$ tra due armature di un condensatore è dato in modulo, probabilmente non si pone troppi problemi sul senso dell'integrazione e se il risultato gli risulta negativo cambia segno a prescindere.