Esercizio di meccanica

[m.e._liberti]

Riuscireste ad aiutarmi a risolvere questo esercizio? Sono molto in difficoltà

[Quinzio]

Mettiamo il disco nell'origine di un riferimento cartesiano $x, y, z$, con l'asse di rotazione allineato all'asse $x$.
Come vettori paralleli agli assi prendiamo i soliti $\bb \hat i, \bb \hat j, \bb \hat k$.
I punti del disco sono individuati da una coppia di coordinate polari $r, \theta$.
A $t=0$, i punti del disco con $\theta = 0$ sono sull'asse $z$, ovvero sopra al centro del disco.

La posizione dei punti del disco nel tempo e' quindi

$\bb {p} (r, \theta) =-r sin(\omega_0 t + \theta)\ \bb \hat j + (r cos(\omega_0 t + \theta) - 1/2 g t^2)\ \bb \hat k$

Domanda (a)

Prendiamo la formula precedente per il punto $r=R, \theta = 0$, dopo aver fatto la derivata nel tempo per trovare la velocita'.

$\bb {p}' (r, \theta) =r \omega_0 cos( \omega_0 t + \theta)\ \bb \hat j - (r \omega_0 sin(\omega_0 t + \theta) + g t)\ \bb \hat k$


Domanda (b)

Si deve trovare il punto del disco per cui

$\bb {p}' (r, \theta) = \bb 0 $ ovvero

$r \omega_0 cos( \omega_0 t + \theta) = 0$

$- (r \omega_0 sin(\omega_0 t + \theta) + g t) = 0$.

Con qualche breve passaggio algebrico si trova il punto

$r = (g t)/\omega_0, theta = 3/2 \pi -\omega_0 t$

Ovviamente questo punto esiste solo finche'

$r = (g t)/\omega_0 < R$ ovvero fino a

$t < (R \omega_0)/g$.

Dopo, il disco cade cosi' velocemente che nessun punto ha velocita' nulla.

Nel riferimento cartesiano, il punto a velocita' nulla ha posizione:

$\bb {p} (r, \theta) =(g t)/\omega_0 \ \bb \hat j - 1/2 g t^2\ \bb \hat k$

Domanda (c)

Si devono fare le stesse considerazioni della (b), ma studiando l'accelerazione.

$\bb {p}'' (r, \theta) =r \omega_0^2 sin( \omega_0 t + \theta)\ \bb \hat j - (r \omega_0^2 cos(\omega_0 t + \theta) + g)\ \bb \hat k$

Anche qui con qualche breve passaggio algebrico che tralascio, si trova:

$r = g/ \omega_0^2$
$ \theta = \pi - \omega_0 t$.

Questo punto esiste, se, indipendentemente dal tempo $t$ si verifica che $g/ \omega_0^2 < R$.

[m.e._liberti]

Grazie mille!!!