Problema di meccanica

[m.e._liberti]

Salve, vi propongo questo esercizio di fisica.
Un carrello di massa m si muove su un binario costituito da un tratto rettilineo AB, di lunghezza 2R = 10 m, un ottavo di circonferenza BC di raggio R = 5 m e un ottavo di circonferenza concava CD, raccordata alla precedente, di raggio R. Il tratto AB è scabro con coefficiente di attrito $\mu_d$ = 0.2, il tratto BD liscio.
a) Si calcoli il valore della velocità inziale $\v_0$ con cui il carrello passa per A, affinché raggiunga il punto C con velocità nulla.
b) Si calcolino i valori permessi per $\v_0$ affinché il carrello resti sul binario e non si distacchi.
c) Si stabilisca per quali valori, tra quelli permessi, il carrello raggiunge il punto D.
Vi allego anche l'immagine con il testo e la figura del sistema.


Ho risolto il primo punto considerando la conservazione dell'energia nel tratto BC e dalle leggi del moto ho ricavato la velocità iniziale. E' giusto? Avrei potuto considerare anche la conservazione dell'energia sull'intero tratto e porla uguale al lavoro della forza di attrito, quindi ABmg$\mu_d$?
Per il punto b) e c) invece non sono riuscita a proporre una risoluzione. Se riusciste ve ne sarei davvero grata...

[Faussone]

Moderatore: Faussone

Per favore riporta il testo del problema anche in formato testo, solo l'immagine può rendere la discussione incomprensibile in futuro.
Inoltre per regolamento dovresti indicare un tuo tentativo di soluzione e/o spiegare i dubbi che hai.

[axpgn]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Se la prima volta gli rispondono, risolvendogli il problema, perché dovrebbe cambiare?

[m.e._liberti]

D'accordo. Riscrivo correttamente!

[mgrau]

Per il punto b). Nel tratto BC il carrello resta sul binario per qualsiasi velocità. Nel tratto CD potrebbe staccarsi, se è troppo veloce.
Per seguire l'arco di circonferenza CD occorre una forza centripeta, $mv^2/r$. Questa forza proviene solo dal peso, più precisamente dalla componente radiale del peso.
Anche la reazione del binario è radiale, ma spinge in fuori, non in dentro.
In conclusione, finchè il carrello resta sul binario, la componente radiale del peso meno la reazione del binario, costituisce la forza centripeta. La condizione di distacco si ha quando la reazione del binario si azzera, ossia quando la componente radiale del peso uguaglia la forza centripeta richiesta.
Per cui devi trovare l'espressione della componente radiale del peso, in funzione della posizione su CD, e uguagliarla a $mv^2/r$

[m.e._liberti]

Per il punto b). Nel tratto BC il carrello resta sul binario per qualsiasi velocità. Nel tratto CD potrebbe staccarsi, se è troppo veloce.
Per seguire l'arco di circonferenza CD occorre una forza centripeta, $mv^2/r$. Questa forza proviene solo dal peso, più precisamente dalla componente radiale del peso.
Anche la reazione del binario è radiale, ma spinge in fuori, non in dentro.
In conclusione, finchè il carrello resta sul binario, la componente radiale del peso meno la reazione del binario, costituisce la forza centripeta. La condizione di distacco si ha quando la reazione del binario si azzera, ossia quando la componente radiale del peso uguaglia la forza centripeta richiesta.
Per cui devi trovare l'espressione della componente radiale del peso, in funzione della posizione su CD, e uguagliarla a $mv^2/r$

Grazie per la tua risposta. Ma quella v dell'accelerazione centripeta è $v_B$ o direttamente $v_A$ e quindi $v_0$?

[mgrau]

Ma quella v dell'accelerazione centripeta è $v_B$ o direttamente $v_A$ e quindi $v_0$?

Nè l'una nè l'altra. Nel tratto BD la velocità diminuisce con l'aumentare della quota, quindi devi uguagliare la componente del peso (funzione del punto) con la forza centripeta (pure funzione del punto). L'incognita è proprio la posizione del punto.